Função Modular

FUNÇÃO MODULAR

Módulo (ou valor absoluto) de um número

O módulo (ou valor absoluto) de um número real x, que se indica por | x | é definido da seguinte maneira:

Então:
 se x é positivo ou zero, | x | é igual ao próprio x. Exemplos: | 2 | = 2 ; | 1/2 | = | 1/2 | ; | 15 | = 15

 se x é negativo, | x | é igual a -x. Exemplos: | -2 | = -(-2) = 2 ; | -20 | = -(-20) = 20

O módulo de um número real é sempre positivo ou nulo. O módulo de um número real nunca é negativo.
Representando geometricamente, o módulo de um número real x é igual a distância do ponto que representa, na reta real, o número x ao ponto 0 de origem. Assim:

Se | x | < a (com a>0) significa que a distância entre x e a origem é menor que a, isto é, x deve estar entre –a e a, ou seja, | x | < a  -a < x < a.

Se | x | > a (com a>0) significa que a distância entre x e a origem é maior que a, isto é, deve estar à direita de a ou à esquerda de –a na reta real, ou seja: | x | > a  x > a ou x < -a.

Equações modulares

Toda a equação que contiver a incógnita em um módulo num dos membros será chamada equação modular.

Exemplos:

a) | x2-5x | = 1
b) | x+8 | = | x2-3 |

Algumas equações modulares resolvidas:

1) Resolver a equação | x2-5x | = 6.
Resolução: Temos que analisar dois casos: caso 1: x2-5x = 6 caso 2: x2-5x = -6

Resolvendo o caso 1: x2-5x-6 = 0 => x’=6 e x’’=-1.
Resolvendo o caso 2: x2-5x+6 = 0 => x’=3 e x’’=2. Resposta: S={-1,2,3,6}

2) Resolver a equação | x-6 | = | 3-2x |.
Resolução: Temos que analisar dois casos: caso 1: x-6 = 3-2x caso 2: x-6 = -(3-2x)
Resolvendo o caso 1: x-6 = 3-2x => x+2x = 3+6 => 3x=9 => x=3
Resolvendo o caso 2: x-6 = -(3-2x) => x-2x = -3+6 => -x=3 => x=-3 Resposta: S={-3,3}

Inequações modulares

Chamamos de inequações modulares as inequações nos quais aparecem módulos de expressões que contém a incógnita.

Algumas inequações modulares resolvidas:

1)