Estimação

UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS
Instituto de Matemática e Estatística
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Fabiano F. T. dos Santos

Estimadores Pontuais

Objetivo

Fazer afirmações sobre as características de uma população, com base em informações dadas por amostras.

Exemplo 1

Uma amostra de n = 500 pessoas de uma cidade é escolhida, e a cada pessoa da amostra é feita uma pergunta a respeito de um problema municipal, para o qual foi apresentada uma solução pela prefeitura. A resposta à pergunta poderá ser SIM (favorável à solução) ou NÃO (contrária à solução). Deseja-se estimar a proporção de pessoas na cidade favoráveis à solução apresentada. Se 300 pessoas disseram SIM à pergunta, então uma estimativa natural para a proporção populacional seria
300=500 ou 60%. Esta resposta é baseada na suposição de que a amostra é representativa da população. Sabemos que outra amostra poderia levar a outra estimativa. Conhecer as propriedades desses estimadores é um dos propósitos da Inferência Estatística.

Modelo Matemático para o Exemplo 1

Defina a v.a Y = No de pessoas da amostra que disseram
SIM.
Se p = P(Resposta SIM), então Y ~ b(n; p). Queremos estimar p. Um estimador de p é
^p =Número de respostas SIM /Número de pessoas na amostra =Y/n .

Portanto, se Y = k, então ^p = k/n é uma estimativa de p. Note que ^p = Y/n é uma v.a. e k/n é um número (um valor da v.a.). Além disso,
E(^p) = p e Var (^p) = p(1 - p)/n (Exercício) Estes resultados nos ajudam a avaliar as qualidades desse estimador. E(^p) = p indica que o estimador ^p, em média, “acerta” p. Nesse caso, dizemos que ^p é um estimador não-viesado
(ou não-viciado) de p.

Modelo Matemático para o Exemplo 1

Var (^p) = p(1 - p)/n indica que para amostras grandes, a diferença entre p e ^p tende a ser pequena, pois lim n→∞ p(1 - p)/n = 0 Nesse caso, dizemos que ^p é um estimador consistente de p.

Observações

Essas propriedades são