Estatistica

Cap´ ıtulo 6

Autovalores e Autovetores
6.1 Introdu¸˜o ca

Neste cap´ ıtulo, apresentaremos alguns dos m´todos utilizados para a solu¸˜o do problema do e ca autovalor, i.e., o sistema de n equa¸˜es lineares co Ax = λx (6.1)

para o qual procuramos um vetor solu¸˜o x tal que xi = 0 para pelo menos algum i, ou seja, uma ca solu¸˜o n˜o-trivial. Para que tal seja poss´ ca a ıvel, ´ necess´rio que e a det(A − λI) = 0 (6.2)

a qual ´ uma equa¸˜o polinomial de grau n na vari´vel λ, chamada de equa¸˜o caracter´stica de e ca a ca ı A; o polinˆmio det(A − λI) ´ chamado de polinˆmio caracter´stico de A. o e o ı As n ra´ de (6.2) s˜o chamadas de autovalores, ra´zes latentes ou valores caracter´sticos de ızes a ı ı A. A cada raiz λ corresponde um vetor x ∈ ICn = 0 que satisfaz a equa¸˜o (6.1), o qual ´ chamado ca e de autovetor, vetor latente ou vetor caracter´stico de A. Note que, se x ´ um autovetor de A, ent˜o ı e a kx, onde k ∈ IR, tamb´m ´, pois e e Akx = kAx = λkx = kλx. Costumeiramente os autovetores s˜o normalizados, i.e. || x || = 1 em alguma norma escolhida (o a que pode ser feito pela rela¸˜o acima). ca Se todas as ra´ de (6.2) s˜o distintas entre si, ent˜o isso implica em que a matriz A apresenta ızes a a um conjunto completo de autovetores linearmente independentes (L.I.). No entanto, mesmo para casos em que os autovalores n˜o s˜o todos distintos, podemos encontrar um conjunto completo de a a autovetores L.I. Podemos tamb´m calcular os autovalores da matriz inversa de A, A−1 , a partir dos autovalores e de A. Se multiplicarmos a equa¸˜o (6.1) a esquerda por A−1 , temos ca ` x = λA−1 x ou A−1 x = 1 x. λ

(6.3)

1 Essa ultima equa¸˜o nos diz que λ ´ autovalor de A−1 , onde λ ´ um autovalor de A, com o ´ ca e e autovetor x correspondente. Problemas envolvendo autovalores e autovetores surgem em in´meras aplica¸˜es, como podeu co mos ver nos exemplos que seguem, conforme apresentados em [6].

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Introdu¸˜o ao C´lculo Num´rico ca a e

Autovalores e