Escalonamento de Matrizes

Escalonamento de Matrizes

Darllyson Coutinho
Líssia Oliveira
Paulo Romário
Richardson Roberto
Wellingotn Ribeiro

Introdução

Neste trabalho demonstraremos o método de escalonamento de matrizes, sendo assim umas das formas para resolução de sistemas lineares. Tentaremos evitar o rigor matemático do método aplicado no Cálculo Numérico, sem abrir mão de um mínimo de formalismo necessário para o bom entendimento.

Temos o seguinte sistema:

Sistema escalonado
Bem, sabemos que nem todos os sistemas lineares serão escritos, previamente, de forma escalonada. Portanto, precisamos encontrar uma forma de obter um sistema equivalente, que seja um sistema escalonado.

Vale ressaltar que dois sistemas são ditos equivalentes quando estes possuem o mesmo conjunto solução.

O processo de escalonamento de um sistema linear ocorre por meio de operações elementares, que são iguais às utilizadas no teorema de Jacobi.

Portanto, para escalonarmos um sistema, podemos seguir um roteiro com alguns procedimentos. Utilizaremos um sistema linear para explicitarmos tais passos:

T1 - Um sistema de equações não se altera, quando permutamos as posições de duas equações quaisquer do sistema.

Exemplo: os sistemas de equações lineares 2x + 3y = 10 5x - 2y = 6 5x - 2y = 6 2x + 3y = 10

São obviamente equivalentes, ou seja, possuem o mesmo conjunto solução.
(Observe que apenas mudamos a ordem de apresentação das equações).

T2 - Um sistema de equações não se altera, quando multiplicamos ambos os membros de qualquer uma das equações do sistema, por um número real não nulo.

Exemplo: os sistemas de equações lineares 3x + 2y - z = 5 2x + y + z = 7 x - 2y + 3z = 1 3x + 2y - z = 5 2x + y + z = 7 3x - 6y + 9z = 3

São obviamente equivalentes, pois a terceira equação foi multiplicada membro a membro por 3.

T3 - Um sistema de equações lineares não se altera, quando substituímos uma equação qualquer por outra obtida a partir da adição membro a membro desta