Eletrica

Capítulo 1

Números Complexos
1.1 Unidade Imaginária
O fato da equação

x2 + 1 = 0.

(1.1)

não ser satisfeita por nenhum número real levou à denição dos números complexos. Para solucionar (1.1) denimos a unidade imaginária, denotada1 por i, como sendo o número tal que i2 = −1. Obviamente este não é um número real, uma vez que seu quadrado é negativo.

1.2 Números complexos
Um número complexo z é um número da forma

z = x + iy.

(1.2)

Em (1.2) observamos que um número complexo é composto de duas partes: dizemos que x é a parte real de z , e escrevemos Re(z) = x. Por outro lado, y é a parte imaginária de z , e escrevemos Im(z) = y .

Exemplo 1.1 Dado o número complexo z = 3 + 2i, temos Re(z) = 3 e Im(z) = 2
Ainda em (1.2), se x = 0, dizemos que z é um número imaginário puro; por outro lado, se y = 0 temos que z é um número real puro (ou simplesmente um número real).

1.3 O Plano Complexo
Os números complexos podem ser representados através de pontos em um plano cartesiano. Este plano é denominado plano complexo, ou diagrama de Argand2 . No plano complexo grafamos a parte imaginária do número complexo sobre o eixo vertical (chamado eixo imaginário) e a parte real sobre o eixo horizontal (chamado eixo real). A Figura 1.1 ilustra tal representação.
1 Em textos de Eletricidade a unidade imaginária é normalmente denotada pela letra j , uma vez que a letra i é geralmente utilizada para representar correntes elétricas. 2 Jean Robert Argand (1768-1822), Matemático francês. Seu artigo sobre o plano complexo apareceu em 1806.

1

T b eixo imaginário

a z = a + bi 

E a eixo real

Figura 1.1: O plano complexo.

Assim, cada número complexo z = a + bi está associado biunivocamente3 ao ponto (a, b) do plano complexo. Por esta razão, uma outra maneira de se denotar um número complexo z = x + iy é através de um par ordenado (x, y), onde ca implícito que a primeira componente é a parte real real