Efeito Das Dimens Es Na Energia De Fermi
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1Efeito das dimensões na Energia de Fermi
Alexandre da Silva Maciel
21st March 2012
Sabemos que o valor esperado do número de ocupação de um orbital para férmions é dado pela expressão: hnj i = onde =
1
,
kB T
1 exp [ (
(1)
)] + 1
j
sendo kB a constante de Boltzmann e , o potencial químico. Essa expressão
é conhecida como distribuição de Fermi-Dirac. O número de partículas do sistema é dado então por
N=
X j hnj i =
X j 1 exp [ (
j
(2)
)] + 1
No limite T = 0, o valor médio do número de ocupação hnj iF:D é dado por:
8
< 1 se j hnj iF:D
=
(
)
= j T =0
: 0 se j >
Em T = 0 o potencial químico
é identi…cado como a energia de Fermi
F
(3) do sistema (a
energia do maior estado ocupado). O número de partícula pode ser calculada diretamente usando a equação (3).
N=
X j hnj iF:D
T =0
(4)
A soma sobre todos os estados de uma parrtícula pode ser reescrita em termos de uma integral. X k V
!
(2 )3
Z
d3 k
(5)
Podemos escrever essa integral em termos da energia da seguinte maneira. Para uma partícula livre não-relativisticas o espectro de energia é dado por p ~ = 1, temos que k = 2m , assim temos: p Z
Z
X
V
V m 2m 1 1
3
2 dk= !
3
2
2
(2
)
0 k = ~2 k 2 =2m. Fazendo
(6)
2
Essa formulação também pode ser derivada considerando o espaço de fase clássico. A quantidade
p
Z 1
Z
V m 2m 1 d3 rd3 k
V
2 k dk =
= 2
=
2
2 2
(2 )3
0
0 é o número de estados no espaço de fases de uma partícula, e p d
V m 2m 1
2
g( ) =
=
d
2 2
Z
1
2
(7)
(8)
é interpretado como a densidade de estado de uma partícula. Portanto em 3D o número de particulas em T = 0 é dado por
N =
Z
1
g( ) (
)d
p
Z F
1
V m 2m
2
=
2
2
0
p
V m 2m 2 32
=
2 2
3 F
0
Assim temos
p m 2m n= 2 2
2
3
3
2
(9)
F
Usando este resultado podemos escrever kF em termos de n da seguinte maneira.
=
3 2n m kF2
=
2m
3 2n m F
kF2 = 6 2 n kF = 6 2 n
2
3
(2m)
2
3
(2m)
1
3
1
3
2
3
1
3
(10)
Para 2D temos:
N =
Z
1
g( ) (
Z F
Am
d
=
)d
0
0
= n =
Am
F
m
F
(11)
3
Do mesmo jeito podemos