Derivadas

Curiosamente o conceito de derivada de uma função é posterior ao do de integral e bastante mais complicado.

Sendo um limite de um quociente cujo denominador tende para zero requer , por vezes, bastante mais fundamentos de cálculo.
Talvez seja essa uma razão para que no sec. XVII, a noção de derivada que é sob o ponto de vista prático tão importante, não tenha deixado de causar problemas a grandes matemáticos (Newton, Leibniz, Pascal, Fermat,...) sempre que pretenderam dar-lhe um certo rigor formal.

Rectas tangentes e secantes a uma curva. Declive

Uma recta é secante a uma curva quando a intersecta ("corta") em 2 pontos distintos. È tangente à curva quando tem com ela um só ponto comum ("a toca num só ponto").

O declive da recta secante ou da recta tangente à curva das figuras é o quociente entre BC (diferença entre as ordenadas) e AB
(diferença ente as abcissas) :

Variação média, ou razão incremental de uma função

Quando pretendemos calcular a velocidade média de uma viagem dividimos o número de quilómetros andados pelo tempo gasto a efectuar o percurso. O mesmo se passa com a variação média de uma função

Observando a fig. ao lado onde está representada uma função f(x), verifica-se que quando o valor de x aumenta de a para b a função f(x) também passa de f(a) para f(b). Portanto à variação de para b sucede a variação de f(a) para f(b). Para calcular a variação média da função basta fazer o quociente entre estas duas variações. No fundo estamos a calcular o declive da recta secante à curva em a e b

É, por exemplo, o que se passa quando se quer calcular a velocidade média de um móvel cuja trajectória é a curva f(x)

Na análise, esse quociente é sempre designado por razão incremental

Podes modificar os pontos P e Q arrastando-os com o rato. Na parte superior (direita) vão-te aparecendo os valores do declive, do ângulo e da velocidade média

EXERCÍCIOS

1.- Modifica Q arrastando-o com o rato e observa como variam os