Cálculo Numérico

CÁLCULO NUMÉRICO
O que é o Cálculo Numérico? O Cálculo Numérico corresponde a um conjunto de ferramentas ou métodos usados para se obter a solução de problemas matemáticos de forma aproximada.

1. INTERPOLAÇÃO
Interpolar: introduzir, inserir, pôr de permeio, entremear.

1.1 INTRODUÇÃO

Neste capítulo vamos estudar a aproximação de uma função de uma variável real por outras funções mais simples, de modo que operações em geral sejam realizadas com mais facilidade.
Interpolar uma função f(x) consiste em aproximar essa função por uma outra função g(x), escolhida entre uma classe de funções definida a priori e que satisfaça algumas propriedades. A função g(x) é então usada em substituição a função f(x).
Vamos considerar o exemplo físico abaixo:
A seguinte tabela relaciona calor específico da água e temperatura:

Temperatura (°C)

20

25

30

35

40

45

50
Calor específico

0,99907

0,99852

0,99826

0,99818

0,99828

0,99849

0,99878

Suponhamos que se queira calcular:
i) O calor específico da água a 32,5º C. ii) A temperatura para o qual o calor específico é 0,99837.
A interpolação nos ajuda a resolver este tipo de problema.
A necessidade de se efetuar esta substituição surge em várias situações, como por exemplo:
a) Quando são conhecidos somente os valores numéricos da função para um conjunto de pontos e é necessário calcular o valor da função em um ponto não tabelado (como é o caso do exemplo anterior). Conhecemos a função em um número finito de pontos, sem o conhecimento de sua forma analítica.
b) Quando a função em estudo tem uma expressão tal que operações como diferenciação e a integração são difíceis (ou mesmo impossíveis) de serem realizadas.

DEFINIÇÃO: Consideremos (n+1) pontos distintos: x0, x1, ... ,xn, chamados nós da interpolação, e os valores de f(x) nesses pontos: f(x0), f(x1), ... , f(xn).
A forma de interpolação de f(x) que veremos a seguir consiste em se obter uma determinada função g(x) tal