Cálculo 2 - Derivadas Parciais

Lista de Cálculo 2: Derivadas Parciais...

Prof. Falcão

1. Determine as derivadas parciais primeiras das funções a seguir:
𝑥𝑦
𝑎) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒 2𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑦
𝑏) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2
𝑐) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 3 𝑦 2 𝑧 4 + 2𝑥𝑦 + 𝑧
𝑥 + 𝑦2
2. Verifique que as derivadas parciais mistas de segunda ordem das funções a seguir são iguais:
𝑎) 𝑓(𝑥, 𝑦) = √𝑥 2 + 𝑦 2

𝑏) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒 𝑥−𝑦

2

𝑐) 𝑓(𝑥, 𝑦) = ln(4𝑥 − 5𝑦)

3. Utilize a regra da cadeia para determinar 𝜕𝑧/𝜕𝑢 𝑒 𝜕𝑧/𝜕𝑣:
𝑎) 𝑧 = 8𝑥 2 𝑦 − 2𝑥 + 3𝑦, 𝑥 = 𝑢𝑣 𝑒 𝑦 = 𝑢 − 𝑣;
𝑏) 𝑧 = 𝑥/𝑦, 𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠𝑢 𝑒 𝑦 = 3𝑠𝑒𝑛𝑣;
2
𝑐) 𝑧 = 𝑒 𝑥 𝑦 , 𝑥 = √𝑢𝑣 𝑒 𝑦 = 1/𝑣

4. Determine a derivada direcional da função, no ponto dado e na direção do vetor v:
𝑎)𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 − 3𝑥𝑦 + 4𝑦 3 , 𝑃(−2,0), 𝑣⃗ = 𝑖 + 2𝑗
𝑏)𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = √𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 , 𝑃(1,2, −2), 𝑣⃗ = −6𝑖 + 6𝑗 − 3𝑘

5. Para as funções a seguir, ache a derivada direcional de f na direção de P para Q. determine um vetor unitário da direção em que f cresce mais rapidamente em P e calcule o valor da máxima de variação.
Determine, também, um vetor unitário na direção em que f decresce mais rapidamente em P e calcule o valor da menor taxa de variação.
𝑎) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 𝑒 −2𝑦 , 𝑃(2,0), 𝑄(−3,1)
𝑥 𝑧
𝑏) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = + 2 , 𝑃(1,2, −2), 𝑄(0,0,0)
𝑧 𝑦

6. A temperatura em oC em um ponto (x,y,z) de sólido de metal é expressa por:
𝑥𝑦𝑧
𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
2
1 + 𝑥 + 𝑦2 + 𝑧2
a) Determine a taxa de variação da temperatura em relação à distância em (1,1,1) na direção da origem;
b) Determine a direção na qual a temperatura eleva-se mais rapidamente no ponto (1,1,1) (Expresse a sua resposta como um vetor unitário).
c) Determine a máxima taxa de variação da temperatura.

7. Ache uma equação do plano tangente e a equação da reta normal à superfície no ponto indicado.
𝑎) 𝑆 = 4𝑥 2 + 𝑦 2 + 2𝑧 2 − 26, 𝑃(1, −2,3)
𝑏) 𝑆 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥𝑧) − 4 cos(𝑦𝑧) − 4, 𝑃(𝜋, 𝜋, 1)

8. Localize os extremos relativos e os pontos de sela