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USP/ICMC/SMA - 5.a LISTA DE EXERC´
ICIOS DE SMA 333 - CALCULO III.
Professora Roberta Godoi Wik Atique.

1. Verifique se as fun¸oes abaixo s˜o pares ou ´ c˜ a ımpares ou n˜o s˜o nem pares nem a a
´
ımpares:
b) f (x) = x − x3
e) f (x) = x cos x,
1 − x2
g) f (x) = sen x + cos x h) f (x) =
1 + x2

c) f (x) = x + x2
2
f ) f (x) = e−x

a) f (x) = x
d) f (x) = sen (x2 + 1)

se x < 0 se x ≥ 0

2. Escreva a f´rmula para os coeficientes de Fourier, bem como a s´rie de Fourier, para o e o caso em que
a) f (x) ´ fun¸ao 2−peri´dica e cont´ e c˜ o ınua por partes em [−1, 1].
b) f (x) ´ 10− peri´dica, par e cont´ e o ınua por partes em [-5,5].
c) f (x) ´ 4π− peri´dica ´ e o ımpar e cont´ ınua por partes em [−2π, 2π].
3. Supondo que as fun¸˜es abaixo sejam 2π− peri´dicas, calcule a s´rie de Fourier co o e de cada uma delas :
a)f (x) = sen |x|, onde x ∈ [−π, π] b)f (x) = x, onde x ∈ [−π, π]
c)f (x) = |x|, onde x ∈ [−π, π]
d)f (x) = sen x, onde x ∈ [−π, π]
e)f (x) = x2 , onde x ∈ [−π, π] f )f (x) = sen x + cos x + 0.5 sen 3x, onde x ∈ [−π, π]
1 se x ∈ [−π, 0] sen x se x ∈ [−π, 0]
g)f (x) =
h)f (x) =
0 se x ∈ [0, π];
0
se x ∈ [0, π];
1
se x ∈ [−π, 0]
−1 se x ∈ [−π, 0]
i)f (x) =
j)f (x) = x se x ∈ [0, π];
1
se x ∈ [0, π];
4. Para cada fun¸ao do exerc´ anterior diga para onde convergem as s´ries de Fourier c˜ ıcio e encontradas, quando x = −π, 0, π/3, π/2, π. Sugest˜o: Esboce o gr´fico de cada a a uma delas , demarcando os pontos de descontinuidade, se eles existirem.
5. Seja f (x) fun¸˜o 2π−peri´dica dada por f (x) = π − x ca o

se x ∈ (−π, π) .
∞

(−1)n sen nx
.
a) Mostre que sua s´rie de Fourier ´ dada por Sf (x) = π + 2 e e n n=1
∞

b) Use o item a) para mostrar que n=1 (−1)n−1 π = .
2n − 1
4

6. Seja f (x) fun¸ao 2π−peri´dica dada por f (x) = |x| c˜ o

se x ∈ (−π, π) .

π
4
a) Mostre que sua s´rie de Fourier ´ dada por Sf (x) = − e e
2 π
∞

b) Use o item a) para