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Erros e Quadratura Gaussiana

Erros e Quadratura Gaussiana
Eduardo Camponogara
Departamento de Automa¸˜o e Sistemas ca Universidade Federal de Santa Catarina

DAS-5103: C´lculo Num´rico para Controle e Automa¸˜o a e ca Erros e Quadratura Gaussiana
Sum´rio
a

Estimativas de Erros

Quadratura Gaussiana

Erros e Quadratura Gaussiana
Estimativas de Erros

Sum´rio a Estimativas de Erros

Quadratura Gaussiana

Erros e Quadratura Gaussiana
Estimativas de Erros

O Problema dos Erros na Integra¸˜o Num´rica ca e
◮

Para transformar a express˜o abaixo numa igualdade: a b a n+1

f (x)dx ∼
=

wj f (xj ) j=1 consideraremos o erro que estamos cometendo.
◮

Embora o erro n˜o possa ser calculado exatamente, em a muitos casos ele pode ser estimado com boa precis˜o. a ◮

O processo de integra¸˜o num´rica constitui um problema ca e bem condicionado em princ´ ıpio. Erros e Quadratura Gaussiana
Estimativas de Erros

Erros
◮

Ao aproximarmos f por um polinˆmio f ∗ , estamos cometendo o um erro mas se observarmos a figura abaixo veremos que a soma dos erros se anula ` medida que n aumenta. a y

f (x) f ∗ (x)

a

b
Figura: Cancelamento de erros

x

Erros e Quadratura Gaussiana
Estimativas de Erros

Erros

Adotaremos a nota¸˜o abaixo para erros: ca Nota¸˜o ca ◮

ETTS indicar´ o erro de truncamento da regra dos trap´zios a e simples; e

◮

ETTC indicar´ o erro de truncamento da regra dos trap´zios a e composta. Erros e Quadratura Gaussiana
Estimativas de Erros
Erro de Truncamento na Regra dos Trap´zios Simples e ETTS
Levando os erros em considera¸˜o, a integral pode ser colocada na ca forma: b (b − a) f (x)dx =
[f (a) + f (b)] + ETTS
2
a

Teorema
Se f (x) ´ duas vezes diferenci´vel em [a, b], ent˜o o erro de e a a truncamento ETTS ´ dado por: e ETTS = −

h3 ′′ f (ξ), onde ξ ∈ [a, b]
12

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Estimativas de