Aula Ga Transf Linear

TRANSFORMAÇÕES LINEARES

Introdução
Estamos familiarizados com funções ordinárias tais como a
2
função f definida pela equação f (x) = x
. Essa função transforma um número real em outro número real, no caso, no seu quadrado.
Por exemplo, o número 2 é transformado em 4, isto é, f (2) = 4.
Estudaremos agora funções que transformam vetores em vetores.
Em geral, se V e W são espaços vetoriais, uma função ou
TRANSFORMAÇÃO T de V para W é uma regra que associa a todo vetor x em V um único vetor em W que é denotado por
T(x).
Se x é um vetor em V, então T(x) é chamada a IMAGEM de x sobre a transformação T.
Por exemplo, se T é uma transformação do 3 para o 2 definida pela equação:
T(x
, x
, x
) = (x + x
, x + x
)
1
2
3
1
2
2
3
Então T leva o vetor (1,1,1) no vetor T(1,1,1) = (2,2) e o vetor (3,2,0) no vetor T(3,2,0) = (5,2).

Definição
Sejam V e W dois espaços vetoriais. Uma transformação
(ou aplicação) T: V W é chamada de LINEAR se para todos os vetores x e y em V e para todo escalar
,
● T(x + y) = T(x) + T(y)
● T(
x) = T(x)

Uma transformação linear T: V W preserva a adição e a multiplicação por escalar entre os vetores.
Usando­se as duas propriedades simultaneamente chegamos a uma terceira propriedade:
Sejam v e v vetores em V e e dois escalares, então:
1
2
1
2
T(
v + v ) = T( v ) + T( v ) = T(v
) + T(v
)
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
Diz­se que uma transformação linear satisfaz o princípio da superposição, que é essa terceira propriedade. Mas o princípio da superposição pode ser aplicado a n vetores em V e n escalares.
Ora, mas isso é uma combinação linear. Logo, T preserva combinações lineares.

Exemplo 1: V =R e W = R
F : R R u u ou F(u) = u ● F(u + v) =
(u + v) =