APS DE MECANICA 2 PIST O

O sistema biela-manivela de uma máquina motriz (máquina de vapor, motor térmico) é composto de uma biela AB cujo extremo A chamado base de biela, é deslocado ao longo de uma reta, enquanto que o outro extremo B, chamado cabeça de biela, articulado em B com uma manivela OB descreve uma circunferência de raio OB. A base de biela está articulado no denominado patim solidário com o pistão que é deslocado entre duas guias. O pistão descreve um movimento oscilatório que como vamos ver não é harmônico simples, embora possamos aproximar bastante a este movimento. Descrição do movimento

Suponhamos que a manivela tem raio r, e a biela tem um comprimento l (l>2r). A manivela gira com velocidade angular constante ω, e o pistão oscila. A posição do pistão relativo ao centro da roda é

Se situamos a origem na posição do pistão para θ=90º.

Posição do pistão

Se a manivela se move com velocidade angular ω constante, a posição do pistão em função do tempo é

O valor máximo é obtido para ωt=0, e vale

O valor mínimo é obtido para ωt=π,

Na figura, é representada a posição x do pistão em função do tempo (cor azul) e o MHS (cor vermelha) x=r·sen(ω·t+π/2)=r·cos(ω·t) O valor máximo é obtido para ωt=0, e vale x=+r
O valor mínimo é obtido para ωt=π, e vale x=-r

Velocidade
Derivando a posição x com relação ao tempo obtemos a velocidade

Na figura, é representada a velocidade v do pistão em função do tempo (cor azul) e o MHS (cor vermelha) v=-r·ω·sen(ω·t) Aceleração
Derivando a velocidade v com relação ao tempo obtemos a aceleração

Simplificando chegamos ao resultado

Na figura, é representada a aceleração a do pistão em função do tempo (cor azul) e o MHS (cor vermelha) a=-r·ω2·cos(ω·t) Aceleração nula, máxima velocidade
A velocidade é máxima quando a aceleração é zero. Para calcular os ângulos ω·t para os quais a aceleração é zero, temos que resolver a equação

As operações que temos que realizar são as seguintes
Substituímos sen2(ωt)=1-cos2(ωt) e cos(2ωt)= cos2(ωt) - sen2(ωt) =2