APOSTILA CDI 2 FUNCAO VARIAS VARIAVEIS

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ - UTFPR
CAMPUS CORNÉLIO PROCÓPIO

PR

UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ

1. FUNÇÕES DE VARIAS VARIÁVEIS
1.1. Noções básicas de funções de várias variáveis
As funções reais de várias variáveis reais aparecem naturalmente em problemas práticos.
Quando procuramos a área S de um paralelogramo de base x e altura y, multiplicamos a base pela altura. Então, o valor de S  xy depende dos valores da base e da altura. Dizemos que a área S é função das duas variáveis x e y.
Da mesma forma concluímos que o volume de um paralelepípedo, de dimensões x, y e z é uma função de 3 variáveis, pois V  xyz e a cada terno de valores atribuídos a x, y e z corresponde um valor determinado do volume.
A Física, através de suas fórmulas, também oferece inúmeros exemplos de funções de várias variáveis.
A notação "z = f(x, y) no domínio D   2 " significará que z é dado como uma função de x e y para todos os pontos de um domínio D do plano xy. As variáveis x e y são chamadas variáveis independentes, enquanto que z se diz dependente.
P

P

O gráfico de uma função z = f(x, y) é uma superfície contida em  3 e para as funções u = f(x, y, z), o gráfico está contido em  4 o qual não podemos visualizá-lo.
P

P

P

P

Algumas Aplicações:
1) Dado (x, y), podemos considerá-lo como por exemplo, o comprimento e a largura de um terreno retangular e, associar a cada par (x, y):
(i) A sua área: A = x . y
(ii) O perímetro do mesmo: P = 2(x + y)
(iii) A distância do ponto até a origem: D  x 2  y 2
2) Dado (x, y, z), podemos considerá-lo como por exemplo as dimensões de uma caixa retangular
(paralelepípedo reto-retângulo) e, associar a cada terna (x, y, z):
(i) O volume do mesmo: V = x . y . z
(ii) A sua área lateral: A l = 2(x . y + x . z + y . z)
B

B

(iii) A distância do ponto até a origem: D  x 2  y 2  z 2
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3) Considere o seguinte enunciado: O volume V de um cilindro é dado por V   r h , onde r é o raio e h é a altura.