4 Problemas de álgebra da imo

Cuatro Problemas de Algebra en la IMO.
Rafael S´nchez Lamoneda a UCV. Escuela de Matem´ticas a Barquisimeto, 10 de Marzo de 2008
• Introducci´n. El objetivo de esta conferencia es analizar cuatro probo lemas de ´lgebra que han aparecido en las ultimas IMO, con la idea de a ´ mostrarles unas t´cnicas utiles para la resoluci´n de una amplia gama de e ´ o problemas similares. A continuaci´n les mostrar´ cuatro problemas que han aparecido en las o e ultimas IMO. Las t´cnicas necesarias para resolverlos son b´sicas en un ´ e a entrenamiento ol´ ımpico. Los conceptos necesarios para comprender las soluciones de los problemas son m´ ınimos: – Noci´n de polinomio y grado o – Ecuaci´n de segundo grado o – Divisibilidad • Problemas – Problema 1. (IMO 1988) Sean a y b enteros positivos tales que (ab + 1) divide a a2 + b2 . Demostrar que a2 + b2 ab + 1 es el cuadrado de un entero. – Problema 2. (IMO 2007) Sean a y b enteros positivos tales que 4ab − 1 divide a (4a2 − 1)2 . Demostrar que a = b. – Problema 3. (IMO 2006) Sea P (x) un polinomio de grado n > 1 con coeficientes enteros y sea k un entero positivo. Considere el polinomio Q(x) = P (P (. . . P (P (x)) . . .)), donde P aparece k veces. Demuestre que hay a lo sumo n enteros t, tales que Q(t) = t. 1

– Problema 4. (IMO 2007) Sea n un entero positivo. Sea In = {0, 1, . . . , n}. Se considera S = {(x, y, z) : x, y, z ∈ In , x + y + z > 0} como un conjunto de (n + 1)3 − 1 puntos en el espacio tridimensional. Determinar el menor n´mero posible de planos cuya uni´n contiene u o todos los puntos de S pero no incluye a (0, 0, 0). • Soluciones a los Problemas – Soluci´n al Problema 1 o Procedemos por reducci´n al absurdo. o 2 Si ab + 1 divide a a + b2 , entonces existe un entero positivo k tal que: a2 + b2 = k. ab + 1 Entonces: a2 − kab + b2 = k. Supongamos que k no es un cuadrado perfecto. En la expresi´n o a2 − kab + b2 = k, ambos enteros, a y b son no nulos. Si uno de ellos es cero, k es un cuadrado. Adem´s ambos tienen el