2 4 1 LIMITES FUND
1
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DE
E
TEOREMA DO CONFRONTO
Se não pudermos obter um limite diretamente, talvez possamos obtê-lo indiretamente com o teorema do confronto. O teorema se refere a uma função f cujos valores estão limitados entre os valores de outras duas funções, g x e h x .
Suponha que g ( x ) f ( x ) h( x ) para qualquer x0 , exceto possivelmente em x x0 .
Se
x em um intervalo de aberto contendo
g x e h x tiverem o mesmo limite quando x x0 , então f também terá esse limite.
Suponha também que
lim g x L e lim h x L
x x0
x x0
Então:
lim f x L
x x0
UNIDADE II – 1º. LIMITE FUNDAMENTAL– Profa. Ivanilda Matile
CÁLCULO I
2
Exemplo de Aplicação do Teorema do Confronto
(a) Uma vez que
sen é válido para qualquer lim lim 0
0
0
lim sen 0
0
(b) Uma vez que
0 1 cos para qualquer , temos que lim 1 cos 0
0
lim cos 1
0
Exemplo 11 (STEWART, 2009, p. 94) – Teorema do confronto
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CÁLCULO I
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1º. LIMITE FUNDAMENTAL - TRIGONOMÉTRICO sen x lim x 1 x 0
Teorema:
lim
0
sen
1
em radianos
Prova:
O objetivo é mostrar que os limites à direita e à esquerda são iguais a 1. Então saberemos que o limite bilateral também é 1.
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CÁLCULO I
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Para mostrar que o limite à direita é 1, começamos com valores positivos de menores que
2
(Figura). Observe que:
Área
OAP < área do setor OAP < área OAT
Podemos expressar essas áreas em termos de da seguinte maneira:
1
1
Área OAP base altura 1sen
2
2
1
Área OAP sen
2
1
1
Área do setor OAP r 2 . 12 .
2
2
2
1
1
1
Área OAT basealtura (1)(tg ) tg
2
2
2
UNIDADE II – 1º. LIMITE FUNDAMENTAL– Profa. Ivanilda Matile
CÁLCULO I
5
1
1
1 sen tg
2
2
2
A última desigualdade