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Estatística Econômica e Introdução a Econometria

Distribuição Qui-Quadrado: teste de
Hipótese para a Variância Populacional
AULA 1– 23/09/13
Profa Lilian M. Lima

Distribuição Qui-Quadrado: testando a variância -Faziamos teste para a média pois não conheciamos ao certo seu valor (usava-se média amostral);
-Sendo a variância da População conhecida, a variância da amostra é passível de teste.
-Podemos testar a variância.
Quando obtida a amostra, a variância amostral é dada por: n ∑
2

S =

( X i − X )2

i =1

n −1

n

(n − 1) S 2 =

∑

( X i − X )2

i =1 n (n − 1) S

σ

∑

2

=

2

(n − 1)

S

2

σ

2

( X i − X )2

i =1

σ

2

 Xi − X

=
 σ i =1  n ∑

OU






2

(n − 1)

S

2

σ

2

 Xi − X

=
 σ i =1  n ∑






2

(eq.1)

Se X for uma variável cuja distribuição é normal, a expressão dentro do parênteses será quase uma normal padronizada (subtrai-se a média e dividese pelo desvio –padrão).
Para que fosse exatamente uma normal padronizada, deveríamos ter a média populacional em vez da média amostral.

(eq.2)

Sabe-se que:
2

n

∑ (X

i

−X

2

n

) = ∑ (X i − µ )

i =1

(

−n X −µ

)

2

i =1

Pois:
2

n

n

(X i − X ) = ∑{( X i − µ ) − (X − µ )}2 =
∑
i =1 n =

∑ (X

i =1
2

i =1 n =

∑ (X i =1

(

−µ ) −2 X −µ

n

i =1

i

n

i =1

)∑ ( X i − µ ) + ∑ (X − µ )

2

Em que

2 i (

) (

) (

− µ ) − 2 X −µ *n X −µ + n X − µ

)

2

n

∑ (X i =1

i

(

−µ )= n X −µ

)

(n − 1)

S

2

σ

2

∑

2

n

∑ (X

 Xi − X

=
 σ i =1  n i

−X






(eq.1)

2

n

) = ∑ (X i − µ )

i =1

2

(

−n X −µ

)

2

(eq.2)

i =1

Substituindo a eq 2 na eq 1, temos

(n − 1)

S

2

σ

2

n

2

 X −µ 
 Xi − µ 

=

 − n
 σ  σ 

 i =1 