órbitas

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Trabalho de F´ısica: Orbitas
Alexandre Frias
4/10/2013
Resumo
Um corpo livre no espa¸co orbita em volta de outro descrevendo sec¸c˜oes cˆonicas: elipses, hip´erboles e par´ abolas. Esses sistemas, objetos de estudo do presente trabalho, ser˜ao chamados de sistemas bin´ arios: dois corpos mutuamente atra´ıdos pela gravidade.

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Introdu¸c˜ ao Em f´ısica, ´orbita ´e a curva descrita por corpo em torno de outro sob a influˆencia de alguma for¸ca.
Pelas leis do movimento planet´ario de Johannes Kepler, as o´rbitas s˜ao el´ıpticas. Mais tarde, Isaac
Newton demonstrou que algumas o´rbitas, como as de certos cometas, s˜ao hiperb´olicas e outras parab´olicas (esta u
´ltima muito improv´avel).
Dentro de um sistema solar, os planetas, asteroides, cometas e outros objetos de menor tamanho percorrem o´rbitas aproximadamente el´ıpticas ao redor do Sol. Seja qual for a o´rbita seguida pelo objeto, o corpo ao redor de que descreve sua trajet´oria se encontra situado num foco da cˆonica descrita. Chama-se apoastro o de maior afastamento entre os dois copos e periastro de maior aproxima¸c˜ao. 2

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Natureza das Orbitas

Para determinar a equa¸c˜ao da ´orbita considere

d
(r
dt

× v) e veja que

d dr dv
(r × v) =
×v+r
=v×v+r×a=0 dt dt dt Assim temos r × v constante para todo t. Al´em disso r × v ´e o vetor normal ao plano definido por r e v. Por estas considera¸co˜es conclui-se, ent˜ao, que de fato a curva descrita pela massa m em rela¸ca˜o a massa M est´a contida num plano.
Seja r × v = d, pode-se fazer b = r0 × v0 = r0 v0 sen(θ).k = r × v
Por outro lado, considerando um vetor unit´ario n na mesma dire¸ca˜o e sentido de r temos que a acelera¸ca˜o da massa m ´e a=− GM
(cos(θ).i + sen(θ).j) r2 1

A velocidade ´e v= d d d rn = r n + n r dt dt dt portanto b = r × a = (rn) × (r

d d d d d n + n r) = r2 n × n + r(n × n) r = r2 n × n dt dt dt dt dt d dθ
Agora, pela regra da cadeia dtd n = dθ