Álgebra Linear

Sistemas de Equa¸oes Lineares - (1a Aula) c˜ 1
1.1

Equa¸˜o Linear ca Uma equa¸˜o linear nas inc´gnitas x1 , x2 , · · · , xn ´ uma equa¸ao da forma ca o e c˜
(E)

a1 x 1 + a2 x 2 + · · · + an x n = b

onde a1 , a2 , · · · , an , b s˜o constantes e n ≥ 1 ´ um n´mero natural. a e u • A constante ak ´ chamada coeficiente de xk e • b ´ chamada constante da equa¸ao e c˜

• Uma solu¸˜o da equa¸ao linear ´ uma n-upla de n´meros reais (x1 , · · · , xn ) que satisfaz ca c˜ e u
(E).
• O conjunto de todas as solu¸˜es ´ chamado conjunto solu¸˜o ou solu¸˜o geral da equa¸ao. co e ca ca c˜ • Se b = 0 dizemos que (E) ´ uma equa¸˜o linear homogˆnea. e ca e 1.2

Exemplo

1. A equa¸ao 2x − 5y + 3xz = 4 n˜o ´ linear. c˜ a e
3
a c˜ ca
2. Os pares (−2, 0), (0, 1), 1, 2 s˜o solu¸oes da equa¸˜o

1
− x1 + x2 = 1
2
3. As triplas (1, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), ( 1 , 3 , −1) s˜o solu¸oes da equa¸ao a c˜ c˜ 2 2 x1 + x 2 + x3 = 1

1.3

Equa¸˜o degenerada ca Equa¸oes da forma c˜ 0x1 + 0x2 + · · · + 0xn = b
´
s˜o chamadas equa¸˜es degeneradas. E claro que, se a co

• b = 0 a equa¸˜o n˜o tem solu¸ao. ca a c˜ • b = 0, qualquer vetor u ∈ Rn ´ solu¸ao. e c˜

1.4

Inc´gnita Principal o • A inc´gnita principal da equa¸ao o c˜ a1 x 1 + a2 x 2 + · · · + an x n = b
´ a primeira inc´gnita com coeficiente diferente de zero. e o
• Assim xl ´ a inc´gnita principal da equa¸˜o acima se e o ca aj = 0,

para j < l

e al = 0

• Nesse caso, dizemos que as vari´veis xl+1 , · · · , xn s˜o vari´eis livres. a a v 1.5

Exemplo
Considere a equa¸˜o 5x2 − 2x3 = 3 ou 0x1 + 5x2 − 2x3 = 3. ca A inc´gnita principal ´ x2 e a vari´vel livre ´ x3 . o e a e
Pergunta: Qual a inc´gnita principal de 5y − 2z = 3 ? o 1.6

Pergunta: Como obter solu¸˜es da equa¸˜o (E) ? co ca

1. Considere a equa¸ao 2x − 4y + z = 8. c˜ 2. x ´ a inc´gnita principal. e o
3. y e z s˜o as vari´veis livres.
a