álgebra linear - part II

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ELEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR
CAPÍTULO 2
ESPAÇOS VETORIAIS
1 CORPO
Definição: Um conjunto K, munido com duas operações: uma adição (+) e uma multiplicação (·), é um corpo (cujos elementos são chamados de escalares), se ele é um subconjunto do complexos e satisfaz, para ∀x , y, z ∈ K :
Adição
A1) x + y ∈ K

(fechamento)

A2) x + y = y + x

(comutativa)

A3) x + ( y + z ) = ( x + y) + z

(associativa)

*

*

*

A4) ∃ x ∈ K / x + x = x + x = x
^

^

^

(elemento neutro)
*

A5) ∃ x ∈ K / x + x x = x + x = x

(elemento oposto ou simétrico)

Multiplicação
M1 ) x ⋅ y ∈ K

(fechamento)

M2 ) x ⋅ y = y ⋅ x

(comutativa)

M3 ) x ⋅ ( y ⋅ z ) = ( x ⋅ y ) ⋅ z

(associativa)

~

~

~

M4 ) ∃ x ∈ K / x ⋅ x = x ⋅ x = x

(elemento neutro)

~

M5 ) ∃ x ∈ K / x ⋅ x = x ⋅ x = x

(elemento inverso)

Exemplo (1): Conjuntos que são copos:
a) ( »,+,·) = conjunto dos números complexos com as operações usuais de adição e multiplicação.
b) ( »,+,·) = conjunto dos números reais com as operações usuais de adição e multiplicação.
c) ( »,+,·) = conjunto dos números racionais com as operações usuais de adição e multiplicação.

Exemplo (2): Conjuntos que não são corpos:
a) ( »,+,·) = conjunto dos números inteiros com as operações usuais de adição e multiplicação.
b) ( »,+,·) = conjunto dos números naturais com as operações usuais de adição e multiplicação.

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2 ESPAÇO VETORIAL
Definição: Um conjunto V, não vazio, munido com duas operações: uma adição (+) e um produto por escalar (·), é um espaço vetorial sobre um corpo K, se para ∀u , v, w ∈ V e

∀α, β ∈ K , ele satisfaz as seguintes propriedades:
Adição
A1) u + v = v + u

(comutativa)

A2) u + ( v + w ) = ( u + v) + w

(associativa)

*

*

*

A3) ∃ u ∈ V / u + u = u + u = u
^

^

^

(elemento neutro)

*

A5) ∃ u ∈ V / u + u = u + u = u

(elemento oposto ou simétrico)

Produto por escalar
P1) β ⋅ (α ⋅ u ) = (βα ) ⋅ u
P2 ) α ⋅