ÁLGEBRA LINEAR (Boldrini) Cap. 5: Transformações lineares, problema 15

A
T(u) = u, é uma tranformação linear que leva um vetor do domínio (plano cartesiano) nele próprio. Pela matriz da transformação, conseguimos encontrar a tranformação, multiplicando a matriz por um vetor (x,y) da base canônica de R(2). Note que, quando não há informações sobre a base da tranformação, consideramos a base canônica. As coordenadas de um vetor genérico (x,y) na base canônica são as próprias incógnitas x e y, já que (x,y) = x(1,0) + y(0,1). Matricialmente, colocamos essas coordenadas no formato de vetor coluna na base canônica, obtendo uma matriz 2 x 1. Multiplicamos então a matriz T que 2x2 pela matriz 2x1 obtendo um resultado 2x1 que expressa as coordenadas da própria tranformação na base canônica. Efetuando o cálculo, obtemos:
T(x,y) = (-x -2y,y)
Para satisfazer a condição do problema que leva um vetor genérico (x,y) ao próprio (x,y), basta igualar a imagem (x,y) a imagem da transformação linear e descobrir os vetores u tal que a condição seja satisfeita:
(x,y) = (-x -2y,y), um sistema que possui como solução y = -x ou x = -y.
Assim qualquer vetor no formato (x,-x) ou (-y,y) aplicado a T retorna o próprio vetor. Tome como exemplo (4,-4) ou (-99,99) e confira!
B
T(v) = -v
Ou seja um certo vetor v = (x,y) deve ter por imagem T(v) = (-x,-y). Novmente, igualamos:
(-x,-y) = (-x -2y, y) o que dá y = 0 e x livre, ou seja, vetores da forma (x,0).
De fato se tomamos como exemplo T(-30,0) = (30,0) já que zero não tem relevância quado ao sinal, ou seja (-1)0 = 0.