O método de Newton

UMA ABORDAGEM NUMÉRICA para a solução de equações, à luz da interação elétrica

por JESSÉ DE LACERDA PAULINO

PROBLEMA III
Exposição. Sejam ݊ átomos de um mesmo elemento químico, de massa ‫ܯ‬. Suponha que os átomos se submetam a um processo de ionização, pelo que adquirem cargas ‫ݍ‬ଵ , ‫ݍ‬ଶ ,⋯, ‫ݍ‬௡ . Considere o sistema ܵ formado pelos ݊ íons, resultantes da ionização, a cuja configuração em um espaço ‫ܧ‬ se associa uma energia potencial, de natureza elétrica, ܷ௘ .

Questão 01. Seja ܷ a energia potencial do sistema ܵ. Admita que o sistema satisfaça a propriedade
ܲ “não existem interações entre os entes, exceto a elétrica”. Mostre que a igualdade
௡

௡

௡

௜ୀଵ

௝ୀଵ

௜ୀଵ

‫ݍ‬௝
1
1
̅
ܷ = − ෍ ‫ݍ‬௜ ෍ ߜ௜௝
= − ෍ ‫ݍ‬௜ ܸ௜
2
4ߨߝ଴ ‫ݎ‬௜௝
2

̅ = 0, se ݅ = ݆, ou ߜ௜௝
̅ = 1, se ݅ ≠ ݆, decorre da satisfação de ܵ a ܲ. onde ߜ௜௝
Solução
À exceção da elétrica, por inexistirem interações entre os entes de ܵ, segue-se que ܷ =
௤ೕ
ଵ
ଵ
̅
ܷ௘ . Queremos mostrar, então, que ܷ௘ = ∑௡௜ୀଵ ‫ݍ‬௜ ∑௡௝ୀଵ ߜ௜௝
= ∑௡௜ୀଵ ‫ݍ‬௜ ܸ௜ . Note que, por
ସగఌ ௥
ଶ

ଶ

బ ೔ೕ

definição, a variação da energia potencial Δܷ é dada por Δܷ = ܷ௙ − ܷ௜ = −ܹ. Considere a transição entre dois estados: (1) o do princípio, em que os entes de ܵ separam-se por distâncias infinitas; e (2) o do termo, em que os entes separam-se por distâncias finitas. Nessa transição, defina ܷ௜ = 0 e denote por ܹஶ o trabalho da força, de natureza elétrica, que opera sobre os entes.
௤

Então, ܷ௙ = ܷ௘ = ܹஶ . Observe que ܹஶ = 0 + ସగఌమ

௤మ
௥మ೙

+ ⋯+ ௥

∑௜ழ௝

௤೙షభ

ሺ೙షభሻ೙

ଵ ௤೔ ௤ೕ
ସగఌబ ௥೔ೕ

௤భ

బ ௥భమ

௤

௤

௤

௤

௤

+ ସగఌయ ቀ௥ భ + ௥ మ ቁ + ⋯ + ସగఌ೙ ൬௥ భ +
బ

భయ

మయ

బ

భ೙

൰ (imagine que os entes são trazidos, um a um, do infinito). Então, ܷ௘ =

௤ೕ
ଵ
̅
= ଶ ∑௡௜ୀଵ ‫ݍ‬௜ ∑௡௝ୀଵ ߜ௜௝
=
ସగఌ ௥
బ ೔ೕ

ଵ ௡
∑ ‫ݍ‬
ଶ ௜ୀଵ ௜

ܸ௜ .

∎

Enunciado 1. Seja dada ܷ଴ , a energia potencial do sistema ܵ. Suponha que: (1) ܵ satisfaça a propriedade ܲ da Questão 01; e