O melhor varal

O melhor varal
As figuras 1 e 2 apresentam dois modelos de varal de roupa para apartamento. Os dois custam a mesma coisa, são igualmente resistentes, ocupam o mesmo espaço e somente diferem na disposição dos fios para estender roupas. A parte superior dos varais é, em ambos os casos, um quadrado de 1 metro de lado. O varal A tem o fio disposto em 9 varetas paralelas e eqüidistantes, enquanto o varal B tem o fio disposto em 4 quadrados concêntricos com a mesma distância entre eles do que os fios paralelos do varal A.
O que nos interessa saber é qual dos dois modelos é mais eficaz ou útil, no sentido de verificar matematicamente qual dos dois varais tem mais extensão de fio estirado e, portanto, permite estender mais roupas.
Na loja, também são vendidos varais de outros tamanhos: os maiores são quadrados de 1,25 metros de lado (com 11 varetas, os do tipo A, e 5 quadrados, os do tipo B) e os menores , de 75 cm (com 7 varetas ou 3 quadrados).
Este problema foi extraído do artigo de J. Kilpatrick: “ Problem Formulating: Where do Good Problems como from? –
London.
Questão 1: Sabendo que os dois variais têm 1 metro de lado, qual comprimento é maior: a soma dos comprimentos dos 9 segmentos paralelos do varal A ou a dos perímetros dos 4 quadrados concêntricos do varal B? O que acontece se os quadrados exteriores dos variais medirem 1,25 m? E se medirem 0,75 m?
Questão 2: Vamos supor que os dois varais são quadrados de lado a, que no varal A há n segmentos paralelos equidistantes e que no varal B há
2
n quadrados concêntricos se n for par, e
2
n 1 quadrados se n for ímpar . Qual é maior a soma do comprimento dos segmentos paralelos do varal A ou a dos perímetros dos quadrados concêntricos do varal B?
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Questão 1:

lado maior = 1m

lado a = 0,75 m

lado b = 0,50 m

lado c = 0,25 m

Quadrado de lado c: 4 [ ½ - ( 1/8 • 2)] ®