M Dulo 16 Continuidade

Módulo 16 – Continuidade

Centro Universitário IESB
Disciplina: Cálculo 1
Profª Patrícia Moscariello Rodrigues

Módulo 16 – Continuidade

Definição: Uma função f (x ) é contínua em um número c se satisfaz as seguintes condições: (1) f (c ) está definida (ie, c ∈ Dom ( f ) );
(2) lim f ( x ) existe; x→ c

(3) lim f ( x) = f (c) . x →c

OBS: Intuitivamente, consideramos contínua uma função cujo gráfico não tem interrupções. Exemplo 1: Observe os gráficos abaixo. Nenhum dos gráficos representa uma função contínua em c.
(i)

(ii)

o

o

c f (c ) não existe

c lim f ( x ) não existe pois x→ c

lim f ( x ) ≠ lim+ f ( x)

x→c −

x →c

(iii)

lim f ( x ) não existe pois x→ c

lim f ( x ) = ∞ x→c c

1

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Se uma (ou mais) das três condições da Definição acima não for(em) satisfeita(s), dizemos que f é descontínua em c, ou que f tem uma descontinuidade em c. Certos tipos de descontinuidades têm nomes especiais. A descontinuidade em (i) do exemplo 1 é uma descontinuidade removível, porque podemos removê-la definindo adequadamente o valor de f (c ) . A descontinuidade em (ii) é do tipo salto, assim chamada devido à aparência do gráfico. Se f (x ) tende para ∞ ou − ∞ quando x tende para c de um ou de outro lado, como em (iii), dizemos que f tem uma descontinuidade infinita em c.
Exemplo 2: Seja a função f (x ) =

x − 2 , se x < 1
A função f é contínua em x = 1 ?
− 2 x + 4 , se x ≥ 1

(1) Devemos verificar se f (1) existe, ie, f (1) = −2.1 + 4 = 2 (existe!!)
(2) Devemos verificar se lim f ( x ) existe, ie, x→1 lim f ( x ) = lim− x − 2 = −1

x →1−

Como os limites laterais são distintos,

x →1

pelo teorema, lim f ( x ) não existe. x→1 lim+ f ( x ) = lim+ ( −2 x + 4) = 2

x →1

x →1

Logo a função NÃO é contínua em x = 1 .
Fazendo um esboço do gráfico de f (x ) temos, y 2

2
0
-1

1

x

-2

Vemos que há uma descontinuidade do tipo salto, no gráfico de f (x ) .

2

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x2 −9
, se x ≠ 3 . A função f é contínua em x = 3 ? x −3
2
,