I SLIDES DE EQUA ES DIFERENCIAIS

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
O que se pretende quando se resolve uma equação diferencial?
• Pretende-se encontrar a função desconhecida y. Uma vez que as equações diferenciais envolvem derivadas, para encontrar a sua solução vamos ter de as integrar!
• A solução de uma equação diferencial estabelece uma relação entre as variáveis que não contem quaisquer derivadas.
• Quando a solução se obtém por integração, regra geral, surgem constantes arbitrárias, chama-se solução geral.
• Quando as constantes arbitrárias são fixadas, obtemos uma solução particular. • Finalmente, quando se encontra uma solução que não se obtém a partir da solução geral, diz-se encontrada uma solução singular.

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA
ORDEM

I) Equações de Variáveis Separáveis.
●È toda equação que pode ser escrita na forma
𝑑𝑦
𝑑𝑥

=

𝑔(𝑥)
ℎ(𝑦)

onde g e h são funções conhecidas.

●Para resolver uma equação desse tipo basta separar as variáveis e em seguida integramos os dois lados. Exemplos:

a)
b)

𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥

=

𝑥
𝑦2

= 10y

𝑑𝑦

c) Resolva a equação diferencial
= 3𝑥 2 𝑦 2 em seguida,
𝑑𝑥
encontre uma solução particular que satisfaça a condição inicial y (0) = 1.

EXERCÍCIO:
1) Resolva, por separação de variáveis, as equações diferenciais dadas:
𝑑𝑦
𝑑𝑦
a)
= 𝑠𝑒𝑛5𝑥
f) + 2𝑥𝑦 2 = 0
b)

𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥

= (𝑥 + 1)2

c) 𝑑𝑥 + 𝑒 3𝑥 𝑑𝑦 = 0
d)𝑑𝑦 − (𝑦 − 1)2 𝑑𝑥 = 0
e) 𝑥

𝑑𝑦
𝑑𝑥

= 4𝑦

𝑑𝑥
𝑑𝑦
g)
𝑑𝑥
𝑑𝑦
h)
𝑑𝑥

= 𝑒 3𝑥+2𝑦
= 𝑥 1 − 𝑦2

i) 𝑦𝑙𝑛𝑥

𝑑𝑥
𝑑𝑦

=(

𝑦+1 2
)
𝑥

02) Você está estudando uma língua estrangeira; já conhece 50 palavras e calcula que poderá aprender novas palavras à taxa de 200 por ano. Infelizmente, esquece as palavras que aprendeu à taxa de 1% ao ano.
(a) Escreva uma equação diferencial que modele V(t), o tamanho do seu vocabulário no instante t. Identifique o valor inicial.
(b) Resolva a equação diferencial usando o método de separação de variáveis. (c) Qual o tamanho do seu vocabulário após três anos?
03) Uma pequena