i Lista 5 1

Páginas: 5 (1207 palavras) Publicado: 29 de julho de 2015
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA - UFSC
DISCIPLINA: C´
alculo 1

Lista 5
1. a) O gr´afico da figura a seguir ´e composto por segmentos de reta unidos pelas extremidades.
Em quais pontos do intervalo [−4, 6] f n˜ao est´a definida? Justifique sua resposta.
b) Represente graficamente a derivada de f .

2. Use as informa¸c˜oes a seguir para fazer o gr´afico da fun¸c˜ao f no intervalo fechado[−2, 5].
i) O gr´afico de f ´e composto por segmentos de reta fechados unidos pelas extremidades.
ii) O gr´afico come¸ca no ponto (−2, 3).
iii) A derivada de f ´e a fun¸c˜ao escada da figura a seguir.

3. Use a defini¸c˜ao para calcular as derivadas da fun¸c˜ao. Depois, determine os valores da
derivada conforme especificado.
a) f (x) = 4 − x2 ; f (−3), f (0), f (1)

1
b) g(t) = 2 ; g (−1), g (2), g (3)
t

c) p(θ) = 3θ; p (1), p (3), p (2/3)

4. Usando a defini¸c˜ao, determinar a derivada das seguintes fun¸c˜oes:

a) f (x) = 1 − 4x2
b) f (x) = 3 x + 3

5. Seja f (x) =

x2 + 2
2x + 1

se x < 1
se x ≥ 1

a) Mostre que f ´e deriv´avel em x = 1 e calcule f (1).
b) Esboce o gr´afico de f .
6. Dado f (x) =
3 n˜ao existem.



9 − x2 , mostre que a derivada `a direita em −3 e a derivada `aesquerda em

7. Suponha que f (3) = −2, f (3) = 3, g(3) = 1 e g (3) = −2. Encontre os valores de:
g
f
(3)
(3)
c)
a) (f g) (3)
b)
f
g
8. A regra do produto fornece a f´ormula
d
dv
du
(uv) = u + v
dx
dx
dx
para a derivada do produto uv de duas fun¸c˜oes deriv´aveis de x. Qual ´e a f´ormula an´aloga para
a derivada do produto uvw de trˆes fun¸c˜oes deriv´aveis de x?
9. Determine se f ´e cont´ınua em x1 =0; encontre f + (x1 ) e f − (x1 ) se existirem; determine se
f ´e diferenci´avel em x1 = 0.
a) f (x) =

−1
x−1

10. Seja f (x) =

se x < 0
se x ≥ 0
2−x
x2 − 2x + 2

b) f (x) =

x2
−x2

se x ≤ 0
se x > 0

se x ≤ 1
se x > 1

f ´e diferenci´avel em x = 1? Esboce o gr´afico de f e f .
11. Dado f (x) = 2x3 encontre f (x3 ).
12. Se a reta tangente a y = f (x) em (2, 1) passa pelo ponto (1, 2), encontre f(2) e f (2).
13. Se f (x) = x2 − 4x, encontre f (3) e use-o para achar uma equa¸c˜ao da reta tangente `a
par´abola y = x2 − 4x no ponto (3, −3).
14. Encontre a equa¸c˜ao da reta tangente `a curva y =

x2

8
no ponto (2, 1).
+4

15. Encontre a equa¸c˜ao da reta tangente `a curva y =

(x2 − 4)2
no ponto (1, 9/4).
(3x − 5)2

16. Mostre que a curva y = 6x3 + 5x − 3 n˜ao tem reta tangente cominclina¸c˜ao 4
17. Uma part´ıcula move-se ao longo de uma reta com a equa¸c˜ao do movimento s = f (t) =
2t3 − t + 1, onde s ´e medido em metros e t em segundos. Encontre a velocidade quando t = 2.
18. Diferencie as fun¸c˜oes dadas:
1
+ 2x − x2
4
x
d) f (x) = 3x3 + x−3 − x−4

a) f (x) = 3x9 − 6x6 + x2 − 2

c) f (s) = 3 (s3 − s2 )
e) F (x) =

(5x − 8)−2
(x2 + 3)−3

g) g(x) =

2x − 5
3x + 1

i) h(x) =

b)g(x) =

f) g(r) = (2r4 + 8r2 + 1)5

3

5x
1 + 2x2

k) y = x−3/4

j) f (x) =

2x + 1
(6x − 2)
x+5

1
3
− 4
2
x
x

n) F (x) =

(x + 5x3 )

p) g(x) = (7x2 + 6x)7 (3x − 1)4
1
r) f (x) = x2 + 3x + 2
x

3
2
t) y = (x + 1) x2 + 2

v) f (x) = 9 + 9 − x

3

q) z = w 2 (w + 5ew )
s) f (x) = x4 − x−2 + x−4
4x + 6
x2 + 3x + 4



1
t− √
t
2
z) f (x) = (x + 3)(2x − 5)(3x + 2)

w) H(z) = (z 3 − 3z 2 + 1)−3x) f (t) =

y) y = 5ex + 3
19. Dado f (u) = u2 + 5u + 5 e g(x) =

x2 − 3
6x2 + 3

l) y = 2ex + 3 sen (2x)


v 3 − 2v v
m) y =
v
x
o) f (x) =
3
x+
x

u) g(x) = √

h) g(x) =

x+1
· Encontre a derivada de f ◦ g.
x−1

20. Seja f : R → R deriv´avel e seja g(t) = f (t2 + 1). Supondo f (2) = 5, calcule g (1).

21. Diferencie: (Sugest˜ao: |a| = a2 )
a) g(x) = |x2 − 4|
b) g(x) = x |x|

c) f (x) =

3

|x|+ x

22. Mostre que a fun¸c˜ao f (x) = |x − 5| n˜ao ´e diferenci´avel em 5. Encontre uma f´ormula para
f e esboce seu gr´afico.
23. A reta normal `a curva C em um ponto P ´e, por defini¸c˜ao, a reta que passa por P e
´e perpendicular `a reta tangente a C em P . Ache uma equa¸c˜ao da reta normal `a par´abola
y = 1 − x2 no ponto (2, −3). Esboce a par´abola e sua reta normal.
24. Ache os pontos...
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