C Lculo Numerico Polinomio De Newton

Polinômio de Newton

Jellyane Rocha
Mateus Almeida

Belém/PA
-2015-
Interpolação

Interpolar uma função f(x) consiste em aproximar essa função por outra função g(x), escolhida entre uma classe de funções definida a priori e que satisfaça algumas propriedades. A função g(x) é então usada em substituição à função f(x).
A necessidade de se efetuar esta substituição surge em várias situações, como por exemplo:
Quando são conhecidos somente os valores numéricos da função para um conjunto de pontos e é necessário calcular o valor da função em um ponto não tabelado;
Quando a função em estudo tem uma expressão tal que operações como a diferenciação e a integração são difíceis (ou mesmo impossíveis) de serem realizadas.

Polinômios de Newton

Trata-se de uma fórmula alternativa para o cálculo do polinômio interpolador, baseada numa construção sucessiva a partir dos polinômios de graus inferiores.
O Polinômio de Newton de grau n é dado por:

Essa fórmula geral se traduz para a fórmula:

Onde ] são operadores de diferenças divididas em ordem k entre os pontos da base.

Operador de Diferença Dividida

Seja a função y = f(x) que passa pelos pontos (, i = 0, 1, 2, ... , n. O operador de diferença dividida Δ é definido como sendo:

Ordem 0:
Ordem 1:
Ordem 2:
Ordem n:

Tabela de Diferenças Divididas

Tabela utilizada para auxiliar o processo de construção do Polinômio de Newton. Note que cada diferença dividida de ordem n é gerada a partir de pares de diferenças divididas de ordem n – 1. A notação entre colchetes ajuda a identificar quais são os que se subtraem no denominador (ou seja, em , sempre subtrai-se no denominador.

i

0
1
2
3

Exemplo

Verificar o teorema para a função no intervalo [0; 3].

i

0
1
2
3
0
1
2
3
-1
1
5
11

Resolução:

No polinômio de Newton, pode-se obter o resultado substituindo os resultados de i, x1 e x2 diretamente nas fórmulas anteriormente