A RETA NO ESPAÇO R3.

A RETA NO ESPAÇO R3 Para o espaço tridimensional são consideradas três coordenadas (x, y, z). A determinação da equação de uma reta nesse espaço tem as mesmas características que a equação da reta no espaço R2, diferenciando apenas no número de coordenadas.
Sejam então, (1) um ponto (x0, y0, z0) conhecido, (2) o vetor v = (a, b, c) paralelo à reta r e (3) (x, y, z) um ponto genérico da reta r, conforme indicados na figura abaixo.

O vetor u = (x - x0, y - y0, z - z0), por ser paralelo a v = (a, b, c), é tal que u = lv, o que permite escrever:
(x - x0, y - y0, z - z0) = l.(a, b, c) = (al, bl, cl).
Aplicando a definição de igualdade de vetores, conclui-se: x - x0 = al Û x = x0 + al; y - y0 = bl y = y0 + bl e z - z0 = cl z = z0 + cl.
As equações: x = x0 + al y = y0 + b l z = z0 + cl, são denominadas equações paramétricas da reta. Explicitando l nas equações pode-se também escrever

que constituem as equações segmentárias da reta.

É importante não esquecer que (a, b, c) é um vetor paralelo à reta enquanto que (x0, y0, z0) é um ponto da reta.

4– POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS EM R3.

A figura a seguir mostra diversas retas no espaço tridimensional, ou seja, em R3.

Na figura o vetor u define as direções de retas como u e t, enquanto que r define a direção da reta r.
O vetor u é perpendicular ao vetor v. Assim, o produto escalar u.v é nulo.
Entretanto, as retas r e u são perpendiculares enquanto que as retas r e t são ortogonais.
Para que as retas sejam perpendiculares, além do produto u.v ser nulo, o sistema formado pelas equações das duas retas deve ter solução única. No caso de serem ortogonais, não concorrentes, a solução do sistema formado pelas duas retas não deve ter solução. Para retas paralelas, os vetores que definem suas direções também serão paralelos. Assim, se s e w são os vetores que definem as direções das retas,