Zeros De Funcoes

Zeros de funções

A formulação do problema é a seguinte: conhecida uma função f(x) procuramos valores de x*, tais que:

f(x*)= 0

Graficamente, procuramos os pontos de interseção do gráfico y=f(x) com o eixo dos x (Zeros da função), como indica a figura abaixo.

Figura com zeros nos intervalos: [2, 4]; [6, 8]; [8, 10]; [12, 13]

Os métodos que apresentaremos a seguir são iterativos: estabelecemos uma expressão que, aplicada repetidas vezes, a partir de uma aproximação inicial conhecida, produz uma seqüência de aproximações que convergem para a solução do problema.

Métodos de determinação de zeros de funções a serem estudados:
- Bisseção;
- Newton;
- Secantes.

OBS:
Nem sempre a aproximação inicial é facilmente encontrada. Uma estratégia é plotar o gráfico de y= f(x), e, por observação, estimar um valor aproximado da solução do problema.

Exemplo:
Encontre um valor aproximado para um zero de f(x) = x2 – 2 no intervalo [0, 2].

Pelo gráfico observamos que existe um zero ou raiz da função entre 0 e 2. Neste caso, uma boa aproximação inicial seria qualquer número entre 1 e 2.

O Teorema a seguir garante a existência de um zero de f(x) em um intervalo [a, b].

“ Se y=f(x) é uma função continua e muda de sinal no intervalo [a, b], isto é, f(a)f(b) < 0, então existe pelo menos um ponto x*  [a, b] tal que f( x*) = 0. Além disso, se f ’(x) não muda de sinal (f crescente ou decrescente) em [a, b] então x* é a única raiz de f(x) neste intervalo”.

Obs: Nas condições do resultado acima podemos tomar o ponto médio de [a, b] , xm= , como aproximação inicial.

Método da Bisseção
É um método bastante simples para determinação de zeros de função. Baseia-se em obter soluções aproximadas de x* tomando-se os pontos médios dos subintervalos de [a, b] que contenham a raiz.

A primeira aproximação inicial para a solução do problema é o ponto médio do intervalo [a, b].

x0=

Algoritmo da bisseção

Dados f(x), a e b tais que f(a)f(b)<0, M, tol
1: Para k = 1: M, faça
2: