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Análise e Processamento de Bio-Sinais
Mestrado Integrado em Engenharia Biomédica

Sinais e Sistemas
Licenciatura em Engenharia Física
Departamento de Engenharia Electrotécnica e Computadores
Faculdade de Ciências e Tecnologia
Universidade de Coimbra

Folha de Exercícios das Aulas Teórico-Práticas
Capítulo 2 – Representações no Domínio do Tempo para Sistemas
Lineares e Invariantes no Tempo
Questão 1:
Demonstre que:
a) x(t ) ∗ δ (t ) = x(t ) ;
Solução:
+∞

x(t ) ∗ δ (t ) =

∫ x(τ )δ (t − τ )dτ = x(τ ) | τ = t = x(t )

−∞

Nota : δ (t − τ ) = 1,

t =τ

para

b) x(t ) ∗ δ (t − t 0 ) = x(t − t 0 ) ;
Solução:
+∞

x(t ) ∗ δ (t − t 0 ) = δ (t − t 0 ) ∗ x(t ) = ∫ δ (τ − t 0 ) * x(t − τ )dτ = x(t − τ )
−∞

Nota : δ (τ − t 0 ) = 1

c)

τ = t0

para

t

x(t ) ∗ u (t ) = ∫ x(τ )dτ
−∞

Solução:
+∞

−∞

x(t ) ∗ u (t ) =

t

−∞

∫ x(τ )u (t − τ )dτ = ∫ x(τ )dτ

1 τ ≤ t
Nota : u (t − τ ) = 
0 τ > t

d) x(t ) ∗ u (t − t 0 ) =

∫

t −t0

−∞

x(τ )dτ

Solução: t −t 0

+∞

x(t ) ∗ u (t − t 0 ) =

∫ x(τ )u (t − τ − t

0

) dτ =

−∞

1 τ ≤ t − t 0
Nota : u (t − t 0 − τ ) = 
0 τ > t − t 0

∫ x(τ )dτ

−∞

| τ = t0

= x(t − t 0 )

Análise e Processamento de Bio-Sinais
Mestrado Integrado em Engenharia Biomédica

Sinais e Sistemas
Licenciatura em Engenharia Física
Departamento de Engenharia Electrotécnica e Computadores
Faculdade de Ciências e Tecnologia
Universidade de Coimbra

Questão 2:
Demonstre que x(t − t1 ) ∗ h(t − t 2 ) = y (t − t1 − t 2 ) , sabendo que x(t ) ∗ h(t ) = y (t ) .
Solução:
+∞

x(t ) ∗ h(t ) = y (t ) =

∫ x(τ )h(t − τ )dτ

−∞
+∞

x(t − t1 ) ∗ h(t − t 2 ) =

∫ x(τ − t )h(t − τ − t
1

2

) dτ

−∞

var iável : dτ = λ τ = λ + t1

mudança

de

τ − t1 = λ
+∞

+∞

−∞

−∞

∫ x(τ − t1 )h(t − τ − t 2 )dτ =

∫ x(λ )h(t − λ − t

1

− t 2 )dλ = y (t − t1 − t 2 )

Questão 3:
A entrada x(t ) e a resposta a impulso h(t )