vibrações 2gdl

Vibrações

6. SISTEMAS DE 2 GRAUS DE LIBERDADE
6.1 Introdução :
Sistemas que requerem 2 ou mais coordenadas independentes para descrever o seu movimento são denominados "Sistemas de N Graus de Liberdade". Para se calcular o número de graus de liberdade (GDL) pode-se usar a seguinte regra:
 Número 


 GDL   de massas 
do Sistema  =  envolvidas 




 no Sistema 

 Número de possíveis 
 tipos de movimentos 


 para cada massa 

Sistemas com 2 Graus de Liberdade (2 GDL) podem ser formulados e resolvidos por meio de equações diferenciais com 2 variáveis de deslocamento, sendo uma para cada GDL. Em diversos sistemas, estas equações estão acopladas, isto é, cada equação envolve a utilização de ambas as variáveis de deslocamento.
Se em cada deslocamento, uma solução harmônica é adotada, as equações dinâmicas geram uma expressão que permite calcular as 2 freqüências naturais do sistema.

6.2 Vibração Livre de um Sistema Não Amortecido

k1 m1 x1

k2 m2 k3

Prof. Airton Nabarrete

x2

m1

→

m1 x1 =− k1 x1 − k 2 ( x1 − x2 )

m2

→

m2 x2 =− k 3 x2 − k 2 ( x2 − x1 )
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Vibrações

Reescrevendo, temos :

m1 x1 + (k1 + k 2 )x1 =k 2 x2 m2 x2 + (k 2 + k3 )x2 =k 2 x1
Adotam-se soluções harmônicas para x1 e x2 :

x2 = X 02 sen (ωt )

x1 = X 01 sen (ωt )
Derivando temos: x1 = −ω 2 X 01 sen (ωt )

x2 = −ω 2 X 02 sen(ωt )

e

− m1ω 2 X 01 + (k1 + k 2 ) X 01 = k 2 X 02

→

(1)

− m2ω 2 X 02 + (k 2 + k3 )X 02 = k 2 X 01

→

(2)

Através de manipulação algébrica, em seguida, vem:

de (1) →

X 02 (k1 + k 2 ) − m1ω 2
=
X 01 k2 de (2 ) →

X 02 k2 =
X 01 (k 2 + k3 ) − m2ω 2

∴

(k1 + k 2 ) − m1ω 2 k2 =

k2
(k2 + k3 ) − m2ω 2

(m1m2 ) ω 4 − { (k1 + k 2 ) m2 + (k 2 + k3 ) m1 } ω 2 + { (k1 + k 2 )(k 2 + k3 ) − k 22 } = 0
A equação acima é denominada equação característica e a solução desta equação indica as freqüências naturais do sistema. As