Vetores Parte 02

Vetores: O produto Escalar

Na notação usada até agora, tem-se:
𝑢. 𝑣 = 𝑢1 𝑣1 + 𝑢2 𝑣2 + ⋯ + 𝑢𝑛 𝑣𝑛

Vetores: O produto Escalar
1
−3
Exemplo: Calcule 𝑢. 𝑣, onde 𝑢 = 2 e 𝑣 = 5
−3
2

Demonstrar uma.
Produto escalar no software R

Vetores: Comprimento

Notação usada no curso
𝑣 = 𝑣 . 𝑣= 𝑣12 + 𝑣22 + ⋯ + 𝑣𝑛2

Vetores: Comprimento
Encontre: a) [2,3] =

b) [−1,3] =

c) [3,4] =

Um vetor de comprimento 1 é chamado vetor unitário. Dado qualquer vetor não nulo 𝑣, podemos sempre encontrar um vetor unitário , de mesma direção e sentido que 𝑣,
1
dividindo 𝑣 por seu próprio comprimento. Assim, o vetor unitário 𝑢 = 𝑣 𝑣. Achar um vetor unitário de mesma direção e sentido é, em geral, um processo ao qual nos referimos como normalizar um vetor.

Exemplo: Normalize os vetores

2
3
𝑣 = −1 e 𝑢 = 1
3
−2

Vetores: Distância
Definição: A distância 𝑑 𝑢, 𝑣 entre vetores 𝑢 e 𝑣 em ℝ𝑛 é definida por:
𝑑 𝑢, 𝑣 = 𝑢 − 𝑣

0
2
Exemplo: Considerando os vetores 𝑢 = 1 , 𝑣 = 2 e 𝑤 =
−2
−1

a- 𝑑(𝑢, 𝑣)

b- 𝑑(𝑢, 𝑤)

b- d(𝑤, 𝑣)

2
3 calcule:
2

Vetores: Ângulos
O produto escalar também pode ser usado para determinar o ângulo entre um par de vetores. Em ℝ2 ou ℝ3 , o ângulo entre os vetores 𝑢 e 𝑣 será o ângulo 𝜃 , determinado por esses vetores, que satisfizer 0 ≤ 𝜃 ≤ 1800

O ângulo entre 𝑢 e 𝑣

Vetores: Ângulos
A partir da lei dos co-senos tem-se a seguinte fórmula para o ângulo 𝜃 entre os vetores 𝑢 e 𝑣 em ℝ2 ou ℝ3 .
𝒖𝒗
𝐜𝐨𝐬 𝜽 =
𝒖 𝒗

Exemplo: Determine o ângulo entre os vetores 𝑢 = 2,1, −2 e 𝑣 = 1,1,1 (usar a calculadora científica para obter o respectivo ângulo).

Vetores: Ângulos
Exemplo: Determine o ângulo entre as diagonais de duas faces adjacentes de um cubo.

Vetores: Vetores Ortogonais
Em ℝ2 ou ℝ3 , dois vetores não nulos 𝑢 e 𝑣 são perpendiculares se o ângulo 𝜃 entre eles é um ângulo reto, isto é 𝜃 = 900 . Assim ,

𝑢𝑣
𝑢 𝑣

= cos 900 = 0 , e portanto 𝑢𝑣 =

0. A generalização de ângulos perpendiculares (ângulos retos) para