Vetores no plano e no espaço
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02/02/2014VETORES NO PLANO
E NO ESPAÇO
Definição
Soma de vetores e multiplicação por escalar
Produtos de Vetores
Norma e produto escalar
Projeção ortogonal
Produto vetorial
Produto misto
Definição
Muitas grandezas físicas, como velocidade, força, deslocamento e impulso, para serem completamente identificadas, precisam, além da magnitude, da direção e do sentido.
Estas grandezas são chamadas grandezas vetoriais ou simplesmente vetores.
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Segmentos orientados representando vetores
Dizemos que dois vetores são iguais se eles possuem:
Mesma direção
Mesmo sentido e
Mesmo comprimento
Vetores Iguais
Vetores Diferentes
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Notação
No desenho abaixo, dizemos que o vetor V tem ponto inicial A e ponto final B, e escrevemos V = 𝐴𝐵.
V
𝐴𝐵
B
A
B
A
Soma de Vetores
A soma de dois vetores, V e W é determinada da seguinte forma:
Tome um segmento orientado que representa V
Tome um segmento orientado que representa W, com origem na extremidade de V
O vetor V+W é representado pelo segmento orientado que vai da origem V até a extremidade de W.
W
V
V
W
V
W
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Observamos que a soma de vetores é comutativa e associativa, pois
𝑉 + 𝑊 = 𝑊 + 𝑉 e 𝑉 + (𝑊 + 𝑈) = (𝑉 + 𝑊) + 𝑈
U
W
U
V
W+U
V
W
Para qualquer vetor V, o simétrico de V, denotado por –V, é o vetor que tem mesmo comprimento, mesma direção e sentido contrário ao de V. Logo,
𝑉 + −𝑉 = 0.
Definimos a diferença V menos W por:
V−𝑊 = 𝑉 + (−𝑊)
V
V
W
W
Logo, a diferença V−𝑊 é um vetor que vai da extremidade de W até a extremidade de V.
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Multiplicação por Escalar
A multiplicação de um vetor por um escalar 𝛼 ∈ 𝑅, denotada por
𝛼V é determinada pelo vetor que possui as seguintes características: É o vetor nulo 0, se 𝛼 = 0 ou 𝑉 = 0.
Tem comprimento 𝛼 vezes o comprimento de