velocidade instantanea

Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matem´atica

C´ alculo 1
O problema da velocidade instantˆ anea Suponha que um carro move-se com velocidade constante e igual a 60 km/h. Se no instante t = 0 ele estava no marco zero da estrada, n˜ao ´e dif´ıcil notar que a fun¸c˜ao que fornece a posi¸c˜ao em um instante t > 0 ´e dada por s(t) = 60t. De uma maneira mais geral, se a posi¸c˜ao inicial ´e s0 ∈ R e a velocidade (constante) ´e igual a v0 ∈ R, ent˜ao a posi¸c˜ao ´e dada por s(t) = s0 + v0 t.
Vocˆe certamente j´a se deparou com o problema acima. Nos seus estudos do ensino m´edio, considerava-se uma situa¸c˜ao mais geral, com o carro tendo uma acelera¸c˜ao constante e igual a a ∈ R. Neste caso, a posi¸c˜ao ´e dada por
1
s(t) = s0 + v0 t + at2 ,
2

t > 0,

que ´e exatamente a equa¸c˜ao do espa¸co para o movimento uniformemente variado. Como a acelera¸c˜ao ´e igual a a, podemos facilmente deduzir que a velocidade do carro ´e dada pela fun¸c˜ao v(t) = v0 + at, t > 0.
Estamos interessados aqui no seguinte problema: supondo que conhecemos a posi¸c˜ao do carro s(t), queremos determinar a sua velocidade v(t) em um dado instante t > 0. No caso em que s(t) ´e um polinˆomio de grau 1 ou 2, a solu¸c˜ao j´a foi dada nos dois par´agrafos anteriores. O que queremos agora ´e obter uma forma de calcular a velocidade para fun¸c˜oes s(t) mais gerais.
As ideias que vamos desenvolver servem para muitas express˜oes da fun¸c˜ao s(t). Por´em, para simplificarmos a exposi¸c˜ao, vamos supor que s(t) = t3 . Tamb´em por simplicidade, vamos supor que queremos encontrar a velocidade do carro no instante t = 2. Sumarizando, vamos tratar do problema seguinte:
Problema: se a posi¸c˜ao do carro ´e dada por s(t) = t3 , qual ´e a velocidade do carro no instante t = 2 ?
A primeira coisa que deve ser observada ´e que as f´ormulas aprendidas no ensino m´edio n˜ao s˜ao suficientes para obtermos a resposta. De fato, elas s´o se aplicam para aos casos em que a fun¸c˜ao s(t) ´e um polinˆomio de grau 1