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Matemática Superior - UVB

Aula 08 Derivadas de Ordem Superior
Objetivos da Aula
Desenvolver técnicas para o uso de derivadas sucessivas, fazendo uma interpretação da segunda derivada, mostrando aplicações na Física e Economia.

A idéia de “segunda derivada” vem naturalmente em conexão com o movimento de uma partícula P ao longo de uma reta orientada. Seja s = f(t) a função que determina a localização de P no tempo t, chamada de equação do movimento da partícula. A velocidade da partícula P é definida como a taxa de variação da coordenada s de P em relação ao tempo. Assim, Na Física, a variação instantânea de velocidade em relação ao tempo é denominada aceleração de P, logo:

Entretanto, a aceleração é a derivada da velocidade ou a segunda derivada da coordenada s em relação ao tempo. Exemplo1: Seja s = 2t + 3t², para t > 0, a equação do movimento de uma partícula P, com s em metros e t em segundos. Determine a
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velocidade e a aceleração da partícula quando t = 5 segundos. Solução: A velocidade da partícula t segundos após sua partida é dado por

para t = 5s, a velocidade de P é dado por

A aceleração da partícula t segundos após sua partida é dada pela taxa de variação da velocidade (ou segunda derivada de s), isto é:

Uma outra interpretação da segunda derivada de uma função — desta vez na área de Economia — é mostrada a seguir. Suponha que o índice de preços ao consumidor (IPC) de uma economia entre os anos a e b é descrito pela função I (t) (a t b ). Assim, a primeira derivada de I, I’(t), fornece a variação da taxa de inflação em qualquer instante de tempo t. Assim, quando um economista ou um político alega que a “inflação esta diminuindo”, o que ele quer dizer é que a taxa de inflação esta decrescendo. Matematicamente, isto é equivalente a notar que a segunda derivada I”(t) é negativa no instante t sob consideração. Observe que I’(t) poderia ser positiva em um instante de tempo quando I”(t)