usando geometria para expressar somas

Usando Geometria para expressar somas

É bem conhecido a expressão para a soma dos n primeiros números naturais obtida por Gauss em uma soma de 1 a 100, onde ele notou que o 1o número mais o último era igual a 101 e que o 2o mais o penúltimo também era igual a 101, e assim sucessivamente, ele percebeu então que somar todos os números de 1 a 100 correspondia a somar 50 vezes o numero 101:, ou seja, a soma de n números naturais será:
1+2+3+...n = n (n + 1)
2
Esta soma pode ser visualizada geometricamente através da figura abaixo. Nela vê-se um retângulo formado por bolinhas. A base desse retângulo possui n+1 bolinhas e altura possui n bolinhas. Sendo que o retângulo foi cortado em duas partes iguais pela linha poligonal e em cada uma delas aparece a soma S=1+2+3+...n. Obtém-se,então a formula dos n primeiros números naturais.

Fig 1 - Representação para a soma dos n primeiros números naturais
Uma outra forma de obter a soma do n primeiros números naturais utiliza a figura a seguir e o conceito de área. Observe que a soma 1+2+3+...+n é igual à área do triângulo grande (metade de um Quadrado de lado n) mais a metade n quadrados.

Fig 2 - Representação para a soma dos n primeiros números naturais
1+2+...+n =  = 

A soma dos n primeiros números pares
Estamos interessados em S= 2+4+6+8+10+...+2n
Colocando o numero dois em evidencia teremos:
S= 2(1+2+3+4+...+n)
Como sabemos a soma dos n primeiros números é  temos:
S= 2 , ou seja, 
A soma dos n primeiros números pares pode visualizada através da figura a seguir, onde constam os pontos distribuídos em forma retangular. A soma de número pares surge então ao considerar a contagem conforme mostra a referida figura. Por outro lado, o número total de pontos é n(n+1), onde obtemos a igualdade acima. Sua área é de .

Fig 3- Representação para a soma dos n primeiros números pares.
A figura a seguir mostra o caso particular, do retângulo 7x8

Fig 4 -- Representação para a soma dos n