Unip

Instituto Superior Tcnico e Departamento de Matemtica a 
Sec~o de Algebra e Anlise ca a

Anlise Matemtica II a a

2o Teste - 16 de Dezembro de 2006 - 9h

Duraao: 1h30m c~ Apresente e justique todos os clculos a (2 val.)

1. Seja F uma funao real denida em R2 por c~ &

F (x; y ) =

se (x; y ) T= (0; 0) se (x; y ) = (0; 0).

xy

x4

+y 2

0

Estude F quanto a continuidade no ponto (0; 0).

(3 val.)

2. Considere a funao f : R2 3 R3 denida por f (x; y ) = (sen(xy 2 ); e ; log(1 + x2 )) e seja c~ g : R3 3 R uma funao diferencivel em R3 tal que c~ a y Dg (0; e; 0) = [ e

1

e ]:

Calcule a derivada direccional da funao g  f no ponto (0; 1) na direcao do vector c~ c~ v = (1; 1).
(2 val.)

3. Determine a recta tangente a linha f(x; y; z ) P R3 : z 2 + 1 = y 2 + x2 ; z = y + 2g no

ponto (1; 1; 1).
4. Considere a funao h(x; y ) = x2 y 2 + x3 . c~ (2,5 val.)
(2,5 val.)

(a) Determine e classique os pontos de estacionaridade de h na regi~o x2 + y 2 < 1. a (b) Justique que h tem extremos absolutos na regi~o x2 + y 2 1 e determine-os. a 5. Considere o sistema

&

z + log(y 2 + x2 z ) = 1 y x = 1:

(2 val.)
(3 val.)

(a) Mostre que este sistema dene y e z como fun~es de x em torno do ponto (0; 1; 1). co (b) Calcule as derivadas (0) e (0).

(3 val.)

6. Seja f : R 3 R uma funao de classe C (isto , f tem derivadas parciais cont c~ e
nuas
at ordem k). Assumindo que f (0) = 0 e todas as derivadas parciais de f de ordem e menor ou igual a k 1 se anulam na origem, mostre que

dy

k

dz

dx

dx

n

k

W 0 2 V (0) kf (x)k
1

C>

x

B

C kxk : k Resolu~o indicativa ca 1 e, portanto, o limite lim F (x; y )
2x
( )!(0 0) n~o existe. Dado que F (0; 0) = 0 conclumos que F n~o  contnua na origem. a  ae 

1. Fazendo y = x2 ; temos F (x; y ) = F (x; x2 ) =

x;y

2.

D (g  f )(0; 1) = Dg (f (0; 1))Df