ufba calculo 1

Aula 13
Limites indeterminados e as regras de L'Hopital
Nesta aula, estaremos apresentando as regras de L'Hopital, regras para calcular limites indeterminados, da forma 0=0 ou 1=1, usando derivadas. Estaremos tamb¶m examie nando gr¶¯cos de fun»~es envolvendo fun»~es exponenciais. a co co Diremos que o limite lim f (x)=g(x) tem a forma indeterminada 0=0, se o quociente x!a de fun»~es reais f (x)=g(x) est¶ de¯nido em um conjunto da forma I ¡ fag (sendo I co a um intervalo, e a uma extremidade ou ponto interior de I), f (x) e g(x) s~o cont¶ a ³nuas e deriv¶veis para x 6a, e lim f (x) = lim g(x) = 0. a = x!a x!a

Diremos que o limite lim f (x)=g(x) tem a forma indeterminada 1=1, se o quociente x!a de fun»~es reais f (x)=g(x) est¶ de¯nido em um conjunto da forma I ¡ fag (sendo I co a um intervalo, e a uma extremidade ou ponto interior de I), f (x) e g(x) s~o cont¶ a ³nuas e deriv¶veis para x 6a, e lim f (x) = §1, lim g(x) = §1. a = x!a x!a

Os mesmos conceitos s~o de¯nidos analogamente se tivermos x ! a+ ou x ! a¡ , a ou ainda se a = §1.
S~o duas as chamadas regras de L'Hopital. Uma para formas indeteminadas 0=0 e a outra para formas indeterminadas 1=1. Ambas podem ser enunciadas conjuntamente em um ¶nico teorema (que n~o demonstraremos). u a
Teorema 13.1 (Regras de L'Hopital) Se lim f(x)=g(x) tem uma forma indeterx!a

minada 0=0 ou 1=1, ent~o a f (x) f 0 (x)
= lim 0 x!a g(x) x!a g (x) lim caso o limite lim f 0 (x)=g 0 (x) exista (sendo ¯nito ou in¯nito). O mesmo vale se a ¶ e x!a

substitu¶ por a+ ou a¡ , ou se a = +1 ou ¡1.
³do
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Limites indeterminados e as regras de L'Hopital

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x2 ¡ x ¡ 2 x!2 3x2 ¡ 5x ¡ 2

Exemplo 13.1 Calcular lim

Solu»~o. Um c¶lculo direto nos d¶ a forma indeterminada 0=0. Pelo m¶todo tradicional, ca a a e usando fatora»oes, fazemos c~ x2 ¡ x ¡ 2
(x ¡ 2)(x + 1) x+1 lim
= lim
= lim
= 3=7 x!2 3x2 ¡ 5x ¡ 2 x!2 (x ¡ 2)(3x + 1) x!2 3x + 1