Tópicos avançados em Física Estatística
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Tópicos avançados em FísicaEstatística
Aluno:Michael Moraes
Assuntos abordados
Equações mestras
Equação de Fokker-Planck
Equações mestras
Uma boa maneira de estudar processos markovianos é entender como as probabilidades de cada estado evolui no tempo.
Ao encontrar a evolução temporal das probabilidades é possível extrair informações interessantes do problema estudado.
Como construir equações mestras?
As equações que descrevem esta dinâmica temporal são denominadas equações mestras.
Uma forma simples de derivar a expressão para este tipo de equação é através do conceito de matrizes estocásticas.
Probabilidade conjunta
Considere uma variável estocástica
, que assume valores inteiros para instantes de tempo t=0,1,2,...
Um processo estocástico fica completamente definido pela seguinte distribuição de probabilidade conjunta:
Probabilidade condicional
Em processos estocásticos um outro conceito muito importante é o de probabilidade condicional, definido por:
Processos markovianos
Caso:
O processo é dito markoviano.
Assim, a expressão para a probabilidade conjunta é dada por:
Construindo a matriz estocástica
Definindo agora
, como sendo a probabilidade de que
, em
. l independentemente dos seus valores em instantes anteriores. A probabilidade pode ser escrita como: A matriz estocástica
Para processos markovianos definimos:
Sendo assim,
é:
Propriedades da matriz estocástica
A equação anterior pode ser escrita como:
De onde, destaca-se as seguintes características: Forma geral da matriz estocástica
Uma vantagem de trabalhar com problemas markovianos é a possibilidade de descrevê-los a partir da condição inicial:
Equação mestra a partir da matriz estocástica
A matriz estocástica pode ser reescrita da seguinte forma:
A propriedade:
Implica em: