Título

Cálculo 1: Conjuntos numéricos
Notas de aula
Fonte: Leithold 1 e Cálculo A - Flemming

Dra. Daniela Buske
Å

¹ Í È Ð

Ð
ÙÐÓ ½

ÓÒ ÙÒØÓ× ÒÙÑ Ö
Ó× ß Ôº ½

Conjuntos numéricos
Os primeiros conjuntos numéricos conhecidos pela humanidade são os chamados inteiros positivos ou naturais. Temos então o conjunto
½ ¾ ¿

N

´½µ

Os números -1,-2,-3,... são chamados inteiros negativos. A união do conjunto dos números naturais com os inteiros negativos e o zero (0) define o conjunto dos números inteiros que são denotados por
¼

Z

¦½ ¦¾ ¦¿

´¾µ

Os números da forma m/n, n 0, m,n ¾ Z, são chamados de frações e formam o conjunto dos números racionais. Denota-se
Q

ÜÜ

Ñ Ò Ñ Ò¾Z Ò

¼

Ð
ÙÐÓ ½

´¿µ

ÓÒ ÙÒØÓ× ÒÙÑ Ö
Ó× ß Ôº ¾

Finalmente encontramos números que não podem ser representados na
Ô
forma m / n, n 0, m,n ¾ Z, tais como ¾ = 1,414..., = 3,141592...,
= 2,71.... Esses números formam o conjunto de números irracionais, denotado por Q¼ .
Da união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais resulta o conjunto dos números reais, que é denotado por
R

QÍ Q¼

´ µ

A seguir apresenta-se os axiomas, definições e propriedades referentes ao conjunto dos números reais.

Ð
ÙÐÓ ½

ÓÒ ÙÒØÓ× ÒÙÑ Ö
Ó× ß Ôº ¿

Axiomas da adição e da multiplicação
No conjunto dos números reais introduzimos duas operações, chamadas adição e multiplicação, que satisfazem os axiomas a seguir:
1. Fechamento: Se e ¾ R, existe um e somente um número real denotado por · , chamado soma, e existe um e somente um número real, denotado por
(ou ¢ , ou
), chamado produto.
2. Comutatividade:Se ,
3. Associatividade:Se ,
´
µ
´
µ
.

¾ R, então · e ¾ R, então

4. Distributividade:Se , e ¾ R, então

·

e

· ´ · µ ´ · µ =

.
´ · µ·

·

Ð
ÙÐÓ ½

e

.

ÓÒ ÙÒØÓ× ÒÙÑ Ö
Ó× ß Ôº

Axiomas da adição e da multiplicação
5. Existência de elemento neutro: Existem 0 e 1 ¾ R