trigonometria

14. EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

A maioria das equações trigonométricas são ou reduzem-se a um dos três tipos a seguir:
1) sen x = sen a

2) cos x = cos a

3) tg x = tg β

Que são chamadas de equações fundamentais.
10 Caso: sen x = sen a
Analisando o círculo trigonométrico (ver figura 1), temos que ou x e a têm a mesma imagem no círculo trigonométrico, isto é, x = a + 2kπ , k∈Z. ou x e a têm imagens simétricas em relação ao eixo OY, isto é, x = (π − a) + 2kπ , k ∈ Z .
Resumindo:
x = a + 2kπ

 ou
x = ( π - a) + 2kπ


k∈Z

Figura 1

Ribeiro A., Prates E., Vergasta E., Dominguez G., Freire I., Borges L., Mascarenhas M.

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Exemplos: π π
π
1) sen x = sen   ⇒ x = + 2kπ ou x = π − + 2kπ , k ∈ Z ⇒
8
8
8
π
7π
x = + 2kπ ou x = + 2kπ , k ∈ Z.
8
8 π 7π


Logo, S = x ∈R; x = + 2kπ ou x = + 2kπ, k ∈Z
8
8


2
π π  π
⇒ sen x = sen −  ⇒ x = − + 2kπ ou x = π − (− ) + 2kπ ,
4
4
2
 4
5π
π k ∈ Z ⇒ x = − + 2kπ ou x = + 2kπ , k ∈ Z.
4
4 π 5π


Logo, S = x ∈R; x = − + 2kπ ou x = + 2kπ, k ∈Z .
4
4



2) sen x = −

3) 2sen 2 x − 3senx + 1 = 0
Fazendo sen x = t, obtemos
2t 2 − 3t + 1 = 0 ⇒ t = 1 ou t = sen x = sen

π π ou sen x = sen
2
6

1
1
⇒ sen x = 1 ou sen x =
2
2

⇒

⇒

π π 

 x = + 2kπ ou x = π − + 2kπ, k ∈Z  ou
2
2



π π 

 x = + 2kπ ou x = π − + 2kπ, k ∈ Z  .
6
6



π π 5π


Logo, S = x ∈ R; x = + 2kπ ou x = + 2kπ ou x = + 2kπ, k ∈ Z .
2
6
6


4) Resolva a equação anterior no intervalo [0, 2π]
 π π 5π 
Fazendo k = 0 na solução obtida no item anterior obtemos S =  , ,  .
2 6 6 
20 Caso: cos x = cos a
Analisando o círculo trigonométrico (ver figura 2), temos que ou x e a têm a mesma imagem no círculo trigonométrico, isto é, x = a + 2kπ , k∈Z. Ribeiro A., Prates E., Vergasta E., Dominguez G., Freire I., Borges L., Mascarenhas M.

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ou x e a têm imagens simétricas em relação ao eixo OX,