Trigonometria

Equações trigonométricas vestibular exercícios resolvidos e teoria
1. Introdução
Chamamos de Equação Trigonométrica a qualquer na qual a incógnita faz parte do arco de alguma função trigonométrica.
São exemplos de equações trigonométricas:
5 sen x + 3 cos x = 2 tg = cotg x
Assim, por exemplo, na equação cos x 1/2 temos que π/3 rad é uma solução, pois cos π/3 = 1/2.
No entanto, em R, existem infinitas soluções para a equação acima!
Todos os arcos cujas medidas são da forma x = π/3 + k*2π ou da forma x = -π/3 + k*2π, com k E Z, também constituem solução, pois para todos eles, o cosseno vale 1/2. O conjunto solução é, portanto:
S = { x E R / x = ± π/3 + k*2π, k E Z}
Esse fato sugere a lembrança de que a função cosseno não é injetora, pois para mais de um valor de x obtemos a mesma imagem y = cos x. Então, a função cosseno definida de R em R, não tem inversa.
Não existe um método único para resolver todoas as equações trigonométricas. No entanto, a maioria delas pode ser transformada em outras mais simples, porém equivalentes, ou seja, de mesma solução.
Na verdade, uma grande parte delas pode ser resolvida se soubermos resolver as seguintes equações fundamentais:
a) sen x = sen a
b) cos x = cos a
c) tg x = tg a (a E R)
Vejamos separadamente cada uma delas:
2. Equação do tipo sen x = sen a Ela baseia-se no fato de que, se dois arcos têm o mesmo seno, então eles são côngruos ou suplementares.

Portanto, a solução genérica de uma equação do tipo sen x = sen a, será: x = π - a + k*2π com k E Z ou x = 2kπ + a.

Exemplo:

seja a equação elementar sen x = 0,5.
Como 0,5 = sen 30º = sen p/6, vem, utilizando o resultado geral obtido acima: sen x = sen p/6, de onde conclui-se: x = (2k + 1).p - p/6 ou x = 2kp + p/6, com k inteiro, que representa a solução genérica da equação dada. Fazendo k variar no conjunto dos números inteiros, obteremos as soluções particulares da equação.
Assim, por exemplo, fazendo k = 0, obteremos por