Trigonometria

LISTA DE EXERCÍCIOS DE IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS - GABARITO

1) Calcular secx, sabendo que .
Solução. Sabendo que a secante vale o inverso do cosseno, basta calcular o valor do cosseno utilizando a relação fundamental e inverter o resultado:
i)

ii)

2) Demonstre as seguintes identidades trigonométricas:

a) b)

c) d)

Solução.

a)

b)

c)
d)
i)

ii)

iii)

3) Simplificar as expressões:
a) b)

Solução.
a) Temos: ; ; e .

Logo,

b) Temos: ; e .

Logo,

4) Usando somas e diferenças, calcular:

a) cos15 b) cot 165 c) cossec 15

Solução.

a)Escrevendo 15º = 60º - 45º, vem:

b) Escrevendo 165º = 120º + 45º, vem:
c) Escrevendo 15º = 60º - 45º, vem:

5) Sendo , com 0 <  < /2, calcule: a) b)
Solução.
a) Temos: Desenvolvendo o seno pedido e substituindo, vem:

b) Temos: Substituindo os valores, vem:

6) Se , calcular sen(3x).
Solução. Temos: .
Escrevendo sen(3x) = sen(2x + x) = sen2xcosx + senxcos2x e substituindo, vem:

7) Resolva as equações trigonométricas em :

a) b) c) d) tg(3x)=1
Solução.
a) O ângulo cujo seno vale é 45º ou 135º e seus côngruos. Logo, é da forma ou , com   Z. Logo a solução será:

b) Para que sen5x = sen3x, temos que 5x e 3x estarão sobre a mesma linha horizontal. Em ambos os casos, k  Z.
c) O ângulo cujo cosseno vale é 150º ou 210º e seus côngruos. A solução, então é expressa da forma: k  Z.

d) O ângulo cuja tangente vale 1 é 45º e seus côngruos. A solução, então é expressa da forma: k  Z.

8) Se , calcule M.
Solução. Encontrando as extremidades dos ângulos com a divisão por 360º, temos:
i) 2460º ~ 300º ii) 1110º ~ 30º iii) 2205º ~ 45º
Substituindo, vem:
9) Se sen x = , com então qual o