Transformada De Laplace 1

Transformada de Laplace

Prof. Eng. Antonio Carlos Lemos Júnior

AGENDA






Definição da Transformada de Laplace
Transformada de Laplace de alguns sinais
Propriedades da Transformada de Laplace

Exercícios

Controle de Sstemas Mecânicos

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Transformada de Laplace


Objetivo: O objetivo desta seção é fazer uma introdução à Transformada de
Laplace e sua aplicação em engenharia.

Controle de Sstemas Mecânicos

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Transformada de Laplace


A transformada de Laplace converte equações integrais e diferenciais em equações algébricas. Desta forma a
Transformada de Laplace torna-se uma técnica extremamente útil na solução de equações diferenciais lineares invariantes no tempo;



aplica-se também para sinais em geral;



permite análise do regime transitório de um sistema;



serve para análise de circuitos;



facilita a manipulação de sistemas complicados, com integradores, derivadores, ganhos, etc.

Controle de Sstemas Mecânicos

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Transformada de Laplace


Definição da Transformada de Laplace Unilateral:

L[ f (t )] = F ( s ) =

∞

∫e

− s .t

. f (t )dt

0

f(t) = função do tempo t, tal que f(t) = 0 para t<0 s = σ + jw (variável complexa ou freqüência (1/segundos))
L = operação de Transformação de Laplace
F(s) = transformada de Laplace de f(t), é uma função complexa de números complexos t é a variável tempo em segundos
Convenção: letras minúsculas denotam o sinal em função do tempo, letras maiúsculas denotam a transformada de Laplace do sinal.

Controle de Sstemas Mecânicos

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Transformada de Laplace
Integração
∫ u × dv =
∫
∫

u × v − ∫ v × du

u n+ 1 u du = n+ 1 du = ln( u) u n

∫
∫ sin u × du = − cos u
∫ cos u × du = sin u e u du = e u

∫
∫

e at e dt = a e at at te dt = a at

1

t−  a 

cos( ω t ) ω t sin( 2ω t )
2
(
)
sin ω t dt =
−
∫
2
4ω sin( ω t ) t cos( ω t )
(
) t sin ω t dt =
−
∫ ω2 ω sin( ω t )
(
) cos ω t dt
=
∫ ω t sin( 2ω t )
2
(
)
cos ω t dt =
+
∫
2
4ω cos( ω t ) t sin( ω t )
(
) t cos ω t dt =
+
∫ ω2 ω e at ( a sin( ω t ) − ω