Trabalhos

Resumo sobre o cálculo de volumes de sólidos de revolução
Prof. Doherty Andrade 4 de novembro de 2005

Sumário
1 Volume por seções transversais 2 Sólidos de revolução: discos e cascas 2.1 Revolução de região entre duas curvas . . . . . . . . . . . . . . . 3 Volume pelo método das cascas cilindrincas 1 2 3 5

1

Volume por seções transversais x b, o volume

Se um sólido R tem seção transversal dada por A(x) com a do sólido é dado por V = Z b A(x)dx - eixo OX

(1)

a

Veja as …guras 1 e 2. Figura 1:

1

c

Do mesmo modo, se um sólido R tem seção transversal dada por A(y) com y d, o volume do sólido é dado por V = Z d A(y)dy

eixo OY

(2)

c

Figura 2:

2

Sólidos de revolução: discos e cascas

Seja a região R abaixo do grá…co de f : [a; b] ! R, o volume obtido pela rotação de R em torno de OX é dado por V = Z b [f (x)]2 dx - eixo OX

(3)

a

Note que neste caso, a seção transersal é dada por A(x) = [f (x)]2 , veja …gura 3. No caso de x = g(y); c y d; e rotação no eixo OY,veja …gura 5, tem-se V = Z d [g(y)]2 dy - eixo OY

(4)

c

Exemplo: determine o volume do sólido obtido pela revolução da região limitada pelo grá…co de y = x e pelas retas y = 2 e x = 0: R2 R2 2 V = [g(y)]2 dy = y dy = 3 : 0 0 2

Exemplo: determine o volume do sólido obtido pela revolução da região sob p o grá…co de y = x e limitada pela reta x = 2: R2 R2 V = [f (x)]2 dx = xdx = 2 : 0 0

Figura 3:

Figura 4: Figura 4

2.1

Revolução de região entre duas curvas

Considere a região R entre as curvas y = f (x) e y = g(x) e limitada pelas retas x = a e x = b: Veja …gura 6. Queremos determinar o volume obtida pela rotação dessa região em torno do eixo OX. Podemos fazer isso, calculando cada um dos volumes e realizando a subtração, donde obtemos V = Z b [f (x)]2

[g(x)]2 dx - eixo OX

(5)

p Exemplo: considere f (x) = x e g(x) = x3 e a região entre elas e a reta x = 1:Calcule o volume da rotação dessa região em torno