TRABALHO

Universidade Federal de Santa Catarina - UFSC
Centro de Ciˆ encias F´ısicas e Matem´ aticas Departamento de Matem´ atica MTM 5184 - C´ alculo II
Prof. Dr. J´auber C. de Oliveira

*** Lista 2 de Exerc´ıcios ***
ˆ
SEQUENCIAS
Q1- Encontre uma f´ormula para o termo geral an da sequˆencia, supondo que o padr˜ao apresentado pelos primeiros termos continua:
(a) {1/2, 1/4, 1/8, 1/16, · · · }
(b) {1/2, 1/4, 1/6, 1/8, · · · }
(c) {2, 7, 12, 17, · · · }
(d) {−1/4, 2/9, −3/16, 4/25, · · · }
(e) {1, −2/3, 4/9, −8/27, · · · }
Q2- Determine se as sequˆencias apresentadas a seguir convergem ou divergem, justificando detalhadamente sua resposta.
(a) an = (n + 1)/(3n − 1)
(b) an = (3 + 5n2 )/(n + n2 )
(c) an =

√
√
n/(1 + n)

(d) an = 2n /3n−1
√
(e) an = n/(1 + n)
√
√
(f) an = n + 2 − n
(g) an = ln(n + 1) − ln(n)
(h) an = (1 + 3n)1/n
(i) an =
(j) an =
(k) an =

n
2n
(−1)n−1 n n2 +1
(−3)n
n!

(l) an =

n!
2n

(m) an = (1/n) sen n
(n) an = cos(nπ)
(
)n
(o) an = 1 + n1
(
)n
(p) an = 1 + n2
(
)n
(q) an = 1 − n2
Q3- Para quais valores de r a sequˆencia {nrn } ´e convergente? Justifique rigorosamente sua resposta.

Q4- Calcule o limite da sequˆencia

{
}
√ √
√ √ √
√
2, 2 2, 2 2 2, · · · .

Q5- Verifique se a sequˆencia definida por s1 = 1, an+1 = 3 − 1/an ´e crescente e limitada. Ent˜ao, justifique porque a sequˆencia ´e convergente e calcule seu limite.
Q6- Calcule o limite da sequˆencia an = n1/n quando n → ∞. Justifique rigorosamente sua resposta.
Q7- Calcule o limite da sequˆencia
)
(
1 n an = 1 + n quando n → ∞. Justifique rigorosamente sua resposta.
Q8- (*) Calcule os limites das seguintes sequˆencias, justificando detalhamente seus c´alculos.
(a)
1 + 12 + · · · + n1 an = n (b)
1 + 21/2 + · · · + n1/n an = n Q9- Determine os limites das seguintes sequˆencias:
(a) k n /n! para k > 0
(b) n!/nn
(c) 2n /n

Q10- Considere a sequˆencia definida por an = 1/n se n ´e ´ımpar, e an =