Trabalho

Vasco Simões
ISIG 2002

Funções Homogéneas – Teorema de Euler

1. Definição
Considere-se a função

f ( x1 ,... , xn ) : R n a R .

Diz-se que f é Homogénea de grau p se f ( λ x1 ,..., λ xn ) = λ p f ( x1 , ... , xn ) , ∀λ ∈R

Por exemplo, a função f ( x) = 3 x2 é homogénea de grau 2, com efeito f ( λx ) = 3λ2 x 2 = λ2 ( 3x2 ) = λ2 f ( x )

e a função e f ( x, y, z ) = 2 x 2 yz sin( y / z ) é homogénea de grau 4. Já as funções f ( x, y ) = sin( xy)

f ( x, y , z ) = xyz + x2 + y não são homogéneas.

Uma propriedade importante das funções homogéneas é o facto de que se conhecermos o valor da função num ponto P, então conhecemos o valor da função em qualquer ponto P’ que tenha coordenadas proporcionais ás coordenadas de P, isto é, se soubermos por exemplo que homogénea de grau 3, e que

f ( x, y ) é

f ( 2,3) = 1 , então sabemos imediatamente o valor de f no ponto

(4,6), com efeito: f ( 4,6) = f ( 2 ⋅ 2, 2 ⋅ 3) = 23 f (2,3) = 8 ⋅ 1 = 8

2. Teorema de Euler para funções homogéneas
Outra propriedade importante das funções homogéneas é a que vamo s expor de seguida.
Seja então f : R n a R homogénea de grau p. Então f ( λ x1 ,..., λ xn ) = λ p f ( x1 , ... , xn ) , ∀λ ∈R

derivando esta equação em ordem a λ obtemos:

Vasco Simões
ISIG 2002
∂f

n

∑ ∂( λx ) x i =1

i

= p λ p −1 f ( x1 , ... , xn )

i

e como esta relação deve ser válida para qualquer λ real, se λ = 1 fica

∂f

n

∑ ∂( x ) x = p f ( x , ..., x ) i i =1

1

n

i

Acabámos assim de demonstrar o chamado Teorema de Euler para funções homogéneas:

TEOREMA n Se

∂f

∑∂x

f : R n a R é homogénea de grau p, então

i =1

xi = p f ( x1 , ..., xn ) .

i

Podemos agora estudar a homogeneidade das derivadas de f .
Para tal vamos derivar em ordem a x j a expressão anterior:

∂
∂x j

n

∂f

∑ ∂x i =1

xi = p

i

∂f
∂2 f
+ xj 2 +
∂x j
∂x j xj xj

∂2 f
+
∂x 2 j ∂ f ( x1 , ..., xn )
∂x j

n