Trabalho M todos n o lineares

UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO
DEPARTAMENTO DE COMPUTAÇÃO E ELETRÔNICA
LUCAS DA SILVA GOMES

MÉTODOS DE RESOLUÇÃO DE SISTEMAS NÃO-LINEARES
ALGORITMOS NUMÉRICOS II

SÃO MATEUS, 2015
Métodos de Resolução de Sistemas não-lineares
1 Introdução
Para resolução de problemas práticos, pode surgir um sistema de equações não-lineares, onde se deseja encontrar a solução de uma ou mais funções. Podemos enunciar um sistema não-linear da seguinte forma:

O objetivo é encontrar os pontos onde as curvas das funções descritas se interceptam. Na figura 1, podemos verificar que existem 4 pontos de interceptação entre as curvas. Já na figura 2, podemos observar que não existe interceptação entre as retas.

2 Definições
Nos métodos que serão apresentados à seguir, serão usadas duas matrizes, as quais serão base para nosso cálculo. Em nossos cálculos, utilizaremos a seguinte notação: e , onde representa uma função não-linear definida no conjunto dos números reais. Logo, podemos assumir que F(x) é uma função não-linear definida no conjunto dos números reais. Vamos supor também que F(x) está definida em um conjunto aberto, com derivadas contínuas nesse conjunto. E também supomos que existe pelo menos um ponto x tal que F(x) = 0.

O vetor de derivadas parciais de cada função é denominado vetor gradiente, que terá a seguinte notação:

A matriz que representa todos os vetores gradientes de F(x) é denominada matriz Jacobiana, e será representada como J(x), como mostrado à seguir:

3 Método de Newton
O método de Newton, também conhecido como método de Newton-Raphson, foi desenvolvido por Isaac Newton e Joseph Raphson, com a finalidade de estimar as raízes de uma determinada função.
O método faz uso de recorrentes cálculos da reta tangente a um determinado ponto (derivada), para estimar de forma precisa o valor desejado. Vejamos como funciona:
1. A partir da função, escolhe-se uma aproximação inicial (x0), que será seu ponto de partida para o método;
2.