Trabalho matemática logaritimos

Páginas: 8 (1887 palavras) Publicado: 17 de maio de 2011
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LOGARITMOS

Os vestígios do surgimento dos logaritmos estão atrelados aos povos da Antiguidade. Existem indícios de que os babilônios construíram tabelas logarítmicas e que Arquimedes, ao se deparar com números grandes, elaborou citações que tiveram importância na elaboração dos conceitos iniciais sobre logaritmos.
As idéias sobre logaritmos mais próximas doque se tem hoje, foram frutos dos trabalhos de dois grandes matemáticos do período Renascentista, John Napier e Jobst Burgi, os quais desenvolveram seus estudos separadamente. Napier (1550 – 1617) nasceu na Escócia e não era Matemático profissional, mas realizava inúmeros trabalhos relacionados a vários assuntos. Seus estudos foram primordiais no desenvolvimento dos logaritmos e seu trabalho foipublicado no ano de 1614. Burgi (1552 – 1632) foi um Matemático Suíço que desenvolveu trabalhos relacionados aos logaritmos no mesmo período de Napier. Seu primeiro trabalho foi publicado em 1620.
Os grandes trabalhos publicados por Napier e Burgi contribuíram para a facilidade e agilidade dos cálculos relacionados à astronomia, navegação e comércio. Eles criaram tabelas que eramutilizadas no desenvolvimento das expressões logarítmicas. Atualmente as tabelas foram deixadas de lado, em razão do surgimento de calculadoras e computadores, mas os estudos dos logaritmos são caracterizados pela importância em diversas áreas do conhecimento humano.
Os logaritmos introduzidos por Napier utilizavam bases inadequadas, foi partindo dessa idéia que Henry Briggs sugeriu a Napier amudança dos logaritmos para uma base decimal. Partindo dos estudos de Napier, Briggs desenvolveu logaritmos na base decimal, construindo uma tabela de logaritmos dos números de 1 a 1000. Henry Briggs foi responsável pela introdução dos logaritmos na prática e da imensa vantagem em sua utilização.
O logaritmo de um número b, em certa base a, é o expoente x que se deve atribuir a essa basepara obter o número b.

Exemplos:

log28=3↔23=8

log10100 = 2 ↔ 102 = 100

Os logaritmos possuem várias aplicações na Matemática e em diversas áreas do conhecimento, como Física, Biologia, Química, Medicina, Geografia entre outras. Iremos através de exemplos demonstrarem a utilização das técnicas de logaritmos na busca de resultados para as variadas situações em questão.Exemplo 1 – Matemática Financeira
Uma pessoa aplicou a importância de R$ 500,00 numa instituição bancária que paga juros mensais de 3,5%, no regime de juros compostos. Quanto tempo após a aplicação o montante será de R$ 3 500,00?
Resolução:
Nos casos envolvendo a determinação do tempo e juros compostos, a utilização das técnicas de logaritmos é imprescindível.Fórmula para o cálculo dos juros compostos: M = C * (1 + i)t. De acordo com a situação problema, temos:

M (montante) = 3500
C (capital) = 500
i (taxa) = 3,5% = 0,035
t = ?

M = C * (1 + i)t
3500 = 500 * (1 + 0,035)t
3500/500 = 1,035t
1,035t = 7

Aplicando logaritmo

log 1,035t = log 7
t * log 1,035 = log 7
t * 0,0149 = 0,8451
t = 0,8451 / 0,0149
t = 56,7

O montante deR$ 3 500,00 será originado após 56 meses de aplicação.

Exemplo 2 – Química

Determine o tempo que leva para que 1000 g de certa substância radioativa, que se desintegra a taxa de 2% ao ano, se reduzam a 200 g. Utilize a seguinte expressão:

Q = Q0 * e–rt, em que Q é a massa da substância, r é a taxa e t é o tempo em anos.

Q = Q0 * e–rt
200 = 1000 * e–0,02t
200/1000 = e–0,02t1/5 = e–0,02t (aplicando definição)
–0,02t = loge1/5
–0,02t = loge5–1
–0,02t = –loge5
–0,02t = –ln5 x(–1)
0,02t = ln5
t = ln5 / 0,02
t = 1,6094 / 0,02
t = 80,47

A substância levará 80,47 anos para se reduzir a 200 g.

Exercícios:
1) Durante um período de oito horas, a quantidade de frutas na barraca de um feirante se reduz a cada hora, do seguinte modo:
Nas t primeiras horas...
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