trabalho feeo

Distribuições de probabilidade Discretas: Benoulli e Binomial
Modelo ou Distribuição de Bernoulli
Quando executamos um experimento (ensaio) do tipo Bernoulli, associado a este ensaio, temos uma variável aleatória com o seguinte comportamento:
•

Suponhamos a realização de um experimento E, cujo resultado pode ser um sucesso (se acontecer o evento que nos interessa) ou um fracasso ( o evento não se realiza).

•

Seja p a probabilidade de sucesso e q a probabilidade de fracasso, com p + q = 1.

•

Definimos a seguinte v.a. discreta: X : nº de sucessos em uma única tentativa do experimento.

•

X assume os valores:
0, fracasso
X=
1, sucesso

com P(X = 0) = q e P(X = 1) = p.

Nessas condições a v.a. X tem distribuição de Bernoulli, e sua função de probabilidade é dada por:

P( X = x ) = p x ⋅ q 1− x
•

Esperança (média) e Variância
Calcularemos a média e a variância da variável com distribuição de Bernoulli.

Logo: E(X) = p

e

2

X

P(X)

X.P(X)

X .P(X)

0

q

0

0

1

p

p

p

1

p

p

Var(X) = p – p2 = p(1 – p) = p.q

Ex. Uma urna tem 30 bolas brancas e 20 verdes. Retira-se uma bola dessa urna. Seja X: nº de bolas verdes. Calcular E(X), Var(X) e determinar P(X).
Solução:

0 → q = 30 50 = 3 5
X =
1 → p = 20 50 = 2 5

∴

P(X = x) = (2/5)x.(3/5)1-x

E(X) = p = 2/5
Var(X) = p.q = (2/5).(3/5) = 6/25

1

Modelo ou Distribuição Binomial
•

Se executarmos um experimento tipo Bernoulli, independentemente, “n” vezes podemos ter de “0 a n ∑ xi

n” sucessos onde :

= y sucessos.

i =1

•

O número total de possíveis sucessos em “n” repetições do experimento é dado pela combinação de

 n = nº total de repetições do exp erimento
n
n!

  =
, onde  y = nº de sucessos ocorridos em n repetições
 y  y! ( n − y )!
 y = 0,1,2,3,K n
•

Logo se definimos a v.a. Y tal que:
Y = nº de sucessos ocorridos em “n” repetições independentes do experimento do